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统一场论

三十六、匀速直线运动物体的引力场变化产生电场

以上指出，物体粒子 oo 点相对于我们观察者静止的时候，周围引力场 A′→\overrightarrow{A'} 的散度为：

∇→⋅A′→=∂Ax′∂x′+∂Ay′∂y′+∂Az′∂z′\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A'} = \dfrac{\partial A_x'}{\partial x'} + \dfrac{\partial A_y'}{\partial y'} + \dfrac{\partial A_z'}{\partial z'} \end{equation}

Ax′A_x' ，Ay′A_y' ，Az′A_z' 为 A′→\overrightarrow{A'} 分别在三个坐标轴上的分量。

当 oo 点相对于我们以速度 v⃗\vec{v} 的散度为：

∇→⋅A→=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A} = \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \end{equation}

对洛伦兹正变换 x′=γ (x−v t)x' = \gamma\ (x - v\ t) 求偏微分，得到 1γ ∂∂x=∂∂x′\dfrac{1}{\gamma}\ \dfrac{\partial}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x'} ，再加上 ∂y=∂y′\partial y = \partial y' ，∂z=∂z′\partial z = \partial z' ，再加以上的引力场的相对论变换，得到：

∇→⋅A′→=1γ ∂Axγ∂x+1γ ∂Ayγ∂y+1γ ∂Azγ∂z=1γ2 ∂Ax∂x+1γ2 ∂Ay∂y+1γ2 ∂Az∂z=1γ2 ∇→⋅A→\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A'} &= \dfrac{1}{\gamma}\ \dfrac{\partial \dfrac{A_x}{\gamma}}{\partial x} + \dfrac{1}{\gamma}\ \dfrac{\partial \dfrac{A_y}{\gamma}}{\partial y} + \dfrac{1}{\gamma}\ \dfrac{\partial \dfrac{A_z}{\gamma}}{\partial z} \\ &= \dfrac{1}{\gamma^2}\ \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{1}{\gamma^2}\ \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{1}{\gamma^2}\ \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \\ &= \dfrac{1}{\gamma^2}\ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A} \end{aligned} \end{equation}
点击展开注解：关于上述推导所需的引力场的相对论变换

由以上可以得到：

∇→⋅A′→=(1−v2c2) ∇→⋅A→=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z−v2c2 ∂Ax∂x−v2c2 ∂Ay∂y−v2c2 ∂Az∂z=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z−vc2 v ∂Ax∂x−vc2 v ∂Ay∂y−vc2 v ∂Az∂z\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A'} &= (1 - \dfrac{v^2}{c^2})\ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A} \\ &= \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} - \dfrac{v^2}{c^2}\ \dfrac{\partial A_x}{\partial x} - \dfrac{v^2}{c^2}\ \dfrac{\partial A_y}{\partial y} - \dfrac{v^2}{c^2}\ \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \\ &= \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} - \dfrac{v}{c^2}\ v\ \dfrac{\partial A_x}{\partial x} - \dfrac{v}{c^2}\ v\ \dfrac{\partial A_y}{\partial y} - \dfrac{v}{c^2}\ v\ \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \end{aligned} \end{equation}

把上式改为矢量形式，由于这里是散度，不是旋度，所以，用速度 v⃗\vec{v} 的三个分量去点乘。

∇→⋅A′→=(1−v2c2) ∇→⋅A→=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z−vc2 v ∂Ax∂x−vc2 v ∂Ay∂y−vc2 v ∂Az∂z=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z−vc2 ∂Ax∂x v⃗⋅i⃗−vc2 ∂Ay∂y v⃗⋅j⃗−vc2 ∂Az∂z v⃗⋅k⃗\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A'} &= (1 - \dfrac{v^2}{c^2})\ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A} \\ &= \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} - \dfrac{v}{c^2}\ v\ \dfrac{\partial A_x}{\partial x} - \dfrac{v}{c^2}\ v\ \dfrac{\partial A_y}{\partial y} - \dfrac{v}{c^2}\ v\ \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \\ &= \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} - \dfrac{v}{c^2}\ \dfrac{\partial A_x}{\partial x}\ \vec{v} \cdot \vec{i} - \dfrac{v}{c^2}\ \dfrac{\partial A_y}{\partial y}\ \vec{v} \cdot \vec{j} - \dfrac{v}{c^2}\ \dfrac{\partial A_z}{\partial z}\ \vec{v} \cdot \vec{k} \end{aligned} \end{equation}
点击展开修正

上式中 i⃗\vec{i} ，j⃗\vec{j} ，k⃗\vec{k} 是引力场 A⃗\vec{A} 分别在 xx ，yy ，zz 轴上的三个分量 AxA_x ，AyA_y ，AzA_z 的单位矢量。由数学中矢量点乘定理，加上速度定义得到的 v ∂∂x=∂∂tv\ \dfrac{\partial}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial t} 。

有：

∇→⋅A′→=(1−v2c2) ∇→⋅A→=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z−vc2 v ∂Ax∂x=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z−vc2 ∂Ax∂t=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z+vc2 1f Ex\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A'} &= (1 - \dfrac{v^2}{c^2})\ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A} \\ &= \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} - \dfrac{v}{c^2}\ v\ \dfrac{\partial A_x}{\partial x} \\ &= \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} - \dfrac{v}{c^2}\ \dfrac{\partial A_x}{\partial t} \\ &= \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} + \dfrac{v}{c^2}\ \dfrac{1}{f}\ E_x \end{aligned} \end{equation}

注意，上式中用到了电场 E⃗\vec{E} 在 xx 轴上的分量 ExE_x 和引力场 A⃗\vec{A} 的在 xx 轴上的分量 AxA_x 之间的关系式 Ex=− f ∂Ax∂tE_x = -\ f\ \dfrac{\partial A_x}{\partial t} ，

以上表明，物体粒子 oo 点相对于我们观察者静止时候在周围空间产生了引力场 A′→\overrightarrow{A'} ，当以速度 v⃗\vec{v} 表示】，变成了两部分，一部分与速度无关，一部分与运动速度有关，而与速度有关的、沿 xx 轴分布的那部分，其实就是电场。

利用运动物体粒子的引力场和电场之间的关系，还可以导出磁场的旋度和变化引力场之间的关系。

将以上的运动电场 E⃗\vec{E} 和运动引力场 A⃗\vec{A} 之间的关系

E⃗=− f dA⃗dt\begin{equation}\nonumber \vec{E} = -\ f\ \dfrac{d\vec{A}}{dt} \end{equation}
点击展开修正：dA⃗dt\dfrac{d\vec{A}}{dt} 或应修正为 ∂A⃗∂t\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t}

带入麦克斯韦方程组中的：

μ0 J⃗+1c2 ∂E⃗∂t=∇→×B→\begin{equation}\nonumber \mu_0\ \vec{J} + \dfrac{1}{c^2}\ \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{B} \end{equation}

中，得到：

μ0 J⃗−fc2 ∂2A⃗∂t2=∇→×B→\begin{equation}\nonumber \mu_0\ \vec{J} - \dfrac{f}{c^2}\ \dfrac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} = \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{B} \end{equation}

式中 J⃗\vec{J} 是密度为 ρ\rho 【 ρε0=∇→⋅E→\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} = \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E} 】电荷体沿 xx 轴正方向以速度 v⃗\vec{v} 运动形成的电流，

μ0 J⃗=μ0 ε0 v⃗ ρε0=1c2 v⃗ ρε0\begin{equation}\nonumber \mu_0\ \vec{J} = \mu_0\ \varepsilon_0\ \dfrac{\vec{v}\ \rho}{\varepsilon_0} = \dfrac{1}{c^2}\ \dfrac{\vec{v}\ \rho}{\varepsilon_0} \end{equation}

μ0 J⃗\mu_0\ \vec{J} 在麦克斯韦方程中可以写为 v⃗c2 ∇→⋅E→\dfrac{\vec{v}}{c^2}\ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E} 】，所以，上式可以写为：

v⃗c2 ∇→⋅E→−fc2 ∂2A⃗∂t2=∇→×B→\begin{equation}\nonumber \dfrac{\vec{v}}{c^2}\ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E} - \dfrac{f}{c^2}\ \dfrac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} = \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{B} \end{equation}

所以：

fc2 ∂2A⃗∂t2=v⃗c2 ∇→⋅E→−∇→×B→∂2A⃗∂t2=1f v⃗ (∇→⋅E→)−c2f ∇→×B→\begin{align} \dfrac{f}{c^2}\ \dfrac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} &= \dfrac{\vec{v}}{c^2}\ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E} - \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{B} \nonumber \\ \dfrac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} &= \dfrac{1}{f}\ \vec{v}\ (\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E}) - \dfrac{c^2}{f}\ \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{B} \nonumber \end{align}

上式表示，变化的引力场可以产生电场，也可以产生磁场。

这种情况和麦克斯韦方程是类似的，引力场可以纳入到麦克斯韦方程中，作为麦克斯韦方程的扩展形式。

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