以上指出,物体粒子 o 点相对于我们观察者静止的时候,周围引力场 A′ 的散度为:
∇⋅A′=∂x′∂Ax′+∂y′∂Ay′+∂z′∂Az′
Ax′ ,Ay′ ,Az′ 为 A′ 分别在三个坐标轴上的分量。
当 o 点相对于我们以速度 v 的散度为:
∇⋅A=∂x∂Ax+∂y∂Ay+∂z∂Az
对洛伦兹正变换 x′=γ (x−v t) 求偏微分,得到 γ1 ∂x∂=∂x′∂ ,再加上 ∂y=∂y′ ,∂z=∂z′ ,再加以上的引力场的相对论变换,得到:
∇⋅A′=γ1 ∂x∂γAx+γ1 ∂y∂γAy+γ1 ∂z∂γAz=γ21 ∂x∂Ax+γ21 ∂y∂Ay+γ21 ∂z∂Az=γ21 ∇⋅A
点击展开注解:关于上述推导所需的引力场的相对论变换
由以上可以得到:
∇⋅A′=(1−c2v2) ∇⋅A=∂x∂Ax+∂y∂Ay+∂z∂Az−c2v2 ∂x∂Ax−c2v2 ∂y∂Ay−c2v2 ∂z∂Az=∂x∂Ax+∂y∂Ay+∂z∂Az−c2v v ∂x∂Ax−c2v v ∂y∂Ay−c2v v ∂z∂Az
把上式改为矢量形式,由于这里是散度,不是旋度,所以,用速度 v 的三个分量去点乘。
∇⋅A′=(1−c2v2) ∇⋅A=∂x∂Ax+∂y∂Ay+∂z∂Az−c2v v ∂x∂Ax−c2v v ∂y∂Ay−c2v v ∂z∂Az=∂x∂Ax+∂y∂Ay+∂z∂Az−c2v ∂x∂Ax v⋅i−c2v ∂y∂Ay v⋅j−c2v ∂z∂Az v⋅k
点击展开修正
上式中 i ,j ,k 是引力场 A 分别在 x ,y ,z 轴上的三个分量 Ax ,Ay ,Az 的单位矢量。由数学中矢量点乘定理,加上速度定义得到的 v ∂x∂=∂t∂ 。
有:
∇⋅A′=(1−c2v2) ∇⋅A=∂x∂Ax+∂y∂Ay+∂z∂Az−c2v v ∂x∂Ax=∂x∂Ax+∂y∂Ay+∂z∂Az−c2v ∂t∂Ax=∂x∂Ax+∂y∂Ay+∂z∂Az+c2v f1 Ex
注意,上式中用到了电场 E 在 x 轴上的分量 Ex 和引力场 A 的在 x 轴上的分量 Ax 之间的关系式 Ex=− f ∂t∂Ax ,
以上表明,物体粒子 o 点相对于我们观察者静止时候在周围空间产生了引力场 A′ ,当以速度 v 表示】,变成了两部分,一部分与速度无关,一部分与运动速度有关,而与速度有关的、沿 x 轴分布的那部分,其实就是电场。
利用运动物体粒子的引力场和电场之间的关系,还可以导出磁场的旋度和变化引力场之间的关系。
将以上的运动电场 E 和运动引力场 A 之间的关系
E=− f dtdA
点击展开修正:dtdA 或应修正为 ∂t∂A
带入麦克斯韦方程组中的:
μ0 J+c21 ∂t∂E=∇×B
中,得到:
μ0 J−c2f ∂t2∂2A=∇×B
式中 J 是密度为 ρ 【 ε0ρ=∇⋅E 】电荷体沿 x 轴正方向以速度 v 运动形成的电流,
μ0 J=μ0 ε0 ε0v ρ=c21 ε0v ρ
μ0 J 在麦克斯韦方程中可以写为 c2v ∇⋅E 】,所以,上式可以写为:
c2v ∇⋅E−c2f ∂t2∂2A=∇×B
所以:
c2f ∂t2∂2A∂t2∂2A=c2v ∇⋅E−∇×B=f1 v (∇⋅E)−fc2 ∇×B
上式表示,变化的引力场可以产生电场,也可以产生磁场。
这种情况和麦克斯韦方程是类似的,引力场可以纳入到麦克斯韦方程中,作为麦克斯韦方程的扩展形式。
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