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三十六、匀速直线运动物体的引力场变化产生电场

以上指出,物体粒子 oo 点相对于我们观察者静止的时候,周围引力场 A\overrightarrow{A'} 的散度为:

A=Axx+Ayy+Azz\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A'} = \dfrac{\partial A_x'}{\partial x'} + \dfrac{\partial A_y'}{\partial y'} + \dfrac{\partial A_z'}{\partial z'} \end{equation}

AxA_x'AyA_y'AzA_z'A\overrightarrow{A'} 分别在三个坐标轴上的分量。

oo 点相对于我们以速度 v\vec{v} 的散度为:

A=Axx+Ayy+Azz\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A} = \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \end{equation}

对洛伦兹正变换 x=γ (xv t)x' = \gamma\ (x - v\ t) 求偏微分,得到 1γ x=x\dfrac{1}{\gamma}\ \dfrac{\partial}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x'} ,再加上 y=y\partial y = \partial y'z=z\partial z = \partial z' ,再加以上的引力场的相对论变换,得到:

A=1γ Axγx+1γ Ayγy+1γ Azγz=1γ2 Axx+1γ2 Ayy+1γ2 Azz=1γ2 A\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A'} &= \dfrac{1}{\gamma}\ \dfrac{\partial \dfrac{A_x}{\gamma}}{\partial x} + \dfrac{1}{\gamma}\ \dfrac{\partial \dfrac{A_y}{\gamma}}{\partial y} + \dfrac{1}{\gamma}\ \dfrac{\partial \dfrac{A_z}{\gamma}}{\partial z} \\ &= \dfrac{1}{\gamma^2}\ \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{1}{\gamma^2}\ \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{1}{\gamma^2}\ \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \\ &= \dfrac{1}{\gamma^2}\ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A} \end{aligned} \end{equation}
点击展开注解:关于上述推导所需的引力场的相对论变换

由以上可以得到:

A=(1v2c2) A=Axx+Ayy+Azzv2c2 Axxv2c2 Ayyv2c2 Azz=Axx+Ayy+Azzvc2 v Axxvc2 v Ayyvc2 v Azz\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A'} &= (1 - \dfrac{v^2}{c^2})\ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A} \\ &= \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} - \dfrac{v^2}{c^2}\ \dfrac{\partial A_x}{\partial x} - \dfrac{v^2}{c^2}\ \dfrac{\partial A_y}{\partial y} - \dfrac{v^2}{c^2}\ \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \\ &= \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} - \dfrac{v}{c^2}\ v\ \dfrac{\partial A_x}{\partial x} - \dfrac{v}{c^2}\ v\ \dfrac{\partial A_y}{\partial y} - \dfrac{v}{c^2}\ v\ \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \end{aligned} \end{equation}

把上式改为矢量形式,由于这里是散度,不是旋度,所以,用速度 v\vec{v} 的三个分量去点乘。

A=(1v2c2) A=Axx+Ayy+Azzvc2 v Axxvc2 v Ayyvc2 v Azz=Axx+Ayy+Azzvc2 Axx vivc2 Ayy vjvc2 Azz vk\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A'} &= (1 - \dfrac{v^2}{c^2})\ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A} \\ &= \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} - \dfrac{v}{c^2}\ v\ \dfrac{\partial A_x}{\partial x} - \dfrac{v}{c^2}\ v\ \dfrac{\partial A_y}{\partial y} - \dfrac{v}{c^2}\ v\ \dfrac{\partial A_z}{\partial z} \\ &= \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} - \dfrac{v}{c^2}\ \dfrac{\partial A_x}{\partial x}\ \vec{v} \cdot \vec{i} - \dfrac{v}{c^2}\ \dfrac{\partial A_y}{\partial y}\ \vec{v} \cdot \vec{j} - \dfrac{v}{c^2}\ \dfrac{\partial A_z}{\partial z}\ \vec{v} \cdot \vec{k} \end{aligned} \end{equation}
点击展开修正

上式中 i\vec{i}j\vec{j}k\vec{k} 是引力场 A\vec{A} 分别在 xxyyzz 轴上的三个分量 AxA_xAyA_yAzA_z 的单位矢量。由数学中矢量点乘定理,加上速度定义得到的 v x=tv\ \dfrac{\partial}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial t}

有:

A=(1v2c2) A=Axx+Ayy+Azzvc2 v Axx=Axx+Ayy+Azzvc2 Axt=Axx+Ayy+Azz+vc2 1f Ex\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A'} &= (1 - \dfrac{v^2}{c^2})\ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{A} \\ &= \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} - \dfrac{v}{c^2}\ v\ \dfrac{\partial A_x}{\partial x} \\ &= \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} - \dfrac{v}{c^2}\ \dfrac{\partial A_x}{\partial t} \\ &= \dfrac{\partial A_x}{\partial x} + \dfrac{\partial A_y}{\partial y} + \dfrac{\partial A_z}{\partial z} + \dfrac{v}{c^2}\ \dfrac{1}{f}\ E_x \end{aligned} \end{equation}

注意,上式中用到了电场 E\vec{E}xx 轴上的分量 ExE_x 和引力场 A\vec{A} 的在 xx 轴上的分量 AxA_x 之间的关系式 Ex= f AxtE_x = -\ f\ \dfrac{\partial A_x}{\partial t}

以上表明,物体粒子 oo 点相对于我们观察者静止时候在周围空间产生了引力场 A\overrightarrow{A'} ,当以速度 v\vec{v} 表示】,变成了两部分,一部分与速度无关,一部分与运动速度有关,而与速度有关的、沿 xx 轴分布的那部分,其实就是电场。

利用运动物体粒子的引力场和电场之间的关系,还可以导出磁场的旋度和变化引力场之间的关系。

将以上的运动电场 E\vec{E} 和运动引力场 A\vec{A} 之间的关系

E= f dAdt\begin{equation}\nonumber \vec{E} = -\ f\ \dfrac{d\vec{A}}{dt} \end{equation}
点击展开修正:dAdt\dfrac{d\vec{A}}{dt} 或应修正为 At\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t}

带入麦克斯韦方程组中的:

μ0 J+1c2 Et=×B\begin{equation}\nonumber \mu_0\ \vec{J} + \dfrac{1}{c^2}\ \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{B} \end{equation}

中,得到:

μ0 Jfc2 2At2=×B\begin{equation}\nonumber \mu_0\ \vec{J} - \dfrac{f}{c^2}\ \dfrac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} = \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{B} \end{equation}

式中 J\vec{J} 是密度为 ρ\rhoρε0=E\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} = \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E} 】电荷体沿 xx 轴正方向以速度 v\vec{v} 运动形成的电流,

μ0 J=μ0 ε0 v ρε0=1c2 v ρε0\begin{equation}\nonumber \mu_0\ \vec{J} = \mu_0\ \varepsilon_0\ \dfrac{\vec{v}\ \rho}{\varepsilon_0} = \dfrac{1}{c^2}\ \dfrac{\vec{v}\ \rho}{\varepsilon_0} \end{equation}

μ0 J\mu_0\ \vec{J} 在麦克斯韦方程中可以写为 vc2 E\dfrac{\vec{v}}{c^2}\ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E} 】,所以,上式可以写为:

vc2 Efc2 2At2=×B\begin{equation}\nonumber \dfrac{\vec{v}}{c^2}\ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E} - \dfrac{f}{c^2}\ \dfrac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} = \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{B} \end{equation}

所以:

fc2 2At2=vc2 E×B2At2=1f v (E)c2f ×B\begin{align} \dfrac{f}{c^2}\ \dfrac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} &= \dfrac{\vec{v}}{c^2}\ \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E} - \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{B} \nonumber \\ \dfrac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} &= \dfrac{1}{f}\ \vec{v}\ (\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E}) - \dfrac{c^2}{f}\ \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{B} \nonumber \end{align}

上式表示,变化的引力场可以产生电场,也可以产生磁场。

这种情况和麦克斯韦方程是类似的,引力场可以纳入到麦克斯韦方程中,作为麦克斯韦方程的扩展形式。

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