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二十七、证明惯性质量等价于引力质量

牛顿力学认为,惯性质量反映了物体不容易被加速的程度,而引力质量反映了加速别的物体的能力。

在以上的质量为 mmoo 点,相对于我们观察者静止情况下,相距 rr 远的地方如果有一个质量为 mm'pp 点,受到 oo 点的引力 F\vec{F} 的作用,会使 pp 点有一个指向 oo 点加速度 A-\vec{A} ,并且

F=G m mr2F=m A\begin{align} F &= - \dfrac{G\ m\ m'}{r^2} \nonumber \\ \vec{F} &= - m'\ \vec{A} \nonumber \end{align}

牛顿在没有给出解释的情况下,把式 F=m A\vec{F} = -m'\ \vec{A} 中的惯性质量mm' 和式 F=G m mr2 er\vec{F} = - \dfrac{G\ m\ m'}{r^2}\ \vec{e_r} 中的引力质量 mm' 等同起来,便有了下式:

A=G mr2 er\begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \dfrac{G\ m}{r^2}\ \vec{e_r} \end{equation}

rrr\vec{r} 的数量,er\vec{e_r}r\vec{r} 的单位矢量。这个就是人们常说的惯性质量等价于引力质量。

如果我们证明了 pp 点指向 oo 点加速度 A\vec{A} ,等于 oo 点在 pp 点处产生的引力场,就可以证明惯性质量等价于引力质量。

下面我们来给出证明。

前面给出的引力场方程

A=G k n rΩ r3\begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \dfrac{G\ k\ n\ \vec{r}}{\Omega\ r^3} \end{equation}

中 ,为了便于分析问题,我们令光速运动空间位移矢量 r=c t\vec{r} = \vec{c}\ t 来表示,则引力场方程为:

A=G k rΩ r3\begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \dfrac{G\ k\ \vec{r}}{\Omega\ r^3} \end{equation}
点击展开注解:关于上面两个式子中字母 Ω\Omega 含义的说明

以上方程中,我们令 r\vec{r} 的数量 rr 不变,只是方向在变化,这样,引力场 A\vec{A} 变成了光速运动空间位移 r\vec{r} 的方向和立体角 Ω\Omega 之间的对应变化。

Ω\Omega 是包围 oo 点的高斯球面 s=4πr2s = 4 \pi r^2 上的一个立体角,在 rr 取固定值的情况下,Ω\Omega 的大小正比于 rr=c2 t2\vec{r} \cdot \vec{r} = c^2\ t^2

点击展开疑问:上面想表达的是不是 Ω\Omega 的大小正比于 ss

因为 r\vec{r} 的数量 rr 虽然不变,但是,r\vec{r} 是矢量,可以通过垂直于 r\vec{r} 上的一块面积。

所以,有:

A=G k rc2 t2 r3\begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \dfrac{G\ k\ \vec{r}}{c^2\ t^2\ r^3} \end{equation}

由于 G, k, c, rG,\ k,\ c,\ r 都是常数,合并常数,得到:

A=常数乘以rt2\begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \text{常数乘以} \dfrac{\vec{r}}{t^2} \end{equation}

r\vec{r}t2t^2tt 两次求导数得:

A=常数乘以d2rdt2\begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \text{常数乘以} \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} \end{equation}
点击展开注解:上式的具体推导过程

由于牛顿力学是人类历史上最早诞生的力学体系,所以,以上常数可以设定为 11 ,就如同牛顿第二定理比例常数可以设定为 11 。所以有:

A=d2rdt2\begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} \end{equation}

证明完毕。

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