牛顿力学认为,惯性质量反映了物体不容易被加速的程度,而引力质量反映了加速别的物体的能力。
在以上的质量为 m 的 o 点,相对于我们观察者静止情况下,相距 r 远的地方如果有一个质量为 m′ 的 p 点,受到 o 点的引力 F 的作用,会使 p 点有一个指向 o 点加速度 −A ,并且
FF=−r2G m m′=−m′ A
牛顿在没有给出解释的情况下,把式 F=−m′ A 中的惯性质量m′ 和式 F=−r2G m m′ er 中的引力质量 m′ 等同起来,便有了下式:
A=−r2G m er
r 是 r 的数量,er 是 r 的单位矢量。这个就是人们常说的惯性质量等价于引力质量。
如果我们证明了 p 点指向 o 点加速度 A ,等于 o 点在 p 点处产生的引力场,就可以证明惯性质量等价于引力质量。
下面我们来给出证明。
前面给出的引力场方程
A=−Ω r3G k n r
中 ,为了便于分析问题,我们令光速运动空间位移矢量 r=c t 来表示,则引力场方程为:
A=−Ω r3G k r
点击展开注解:关于上面两个式子中字母 Ω 含义的说明
以上方程中,我们令 r 的数量 r 不变,只是方向在变化,这样,引力场 A 变成了光速运动空间位移 r 的方向和立体角 Ω 之间的对应变化。
Ω 是包围 o 点的高斯球面 s=4πr2 上的一个立体角,在 r 取固定值的情况下,Ω 的大小正比于 r⋅r=c2 t2
点击展开疑问:上面想表达的是不是 Ω 的大小正比于 s ?
因为 r 的数量 r 虽然不变,但是,r 是矢量,可以通过垂直于 r 上的一块面积。
所以,有:
A=−c2 t2 r3G k r
由于 G, k, c, r 都是常数,合并常数,得到:
A=−常数乘以t2r
将 r 和 t2 对 t 两次求导数得:
A=−常数乘以dt2d2r
点击展开注解:上式的具体推导过程
由于牛顿力学是人类历史上最早诞生的力学体系,所以,以上常数可以设定为 1 ,就如同牛顿第二定理比例常数可以设定为 1 。所以有:
A=−dt2d2r
证明完毕。
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