二十七、证明惯性质量等价于引力质量

牛顿力学认为，惯性质量反映了物体不容易被加速的程度，而引力质量反映了加速别的物体的能力。

在以上的质量为 $m$ 的 $o$ 点，相对于我们观察者静止情况下，相距 $r$ 远的地方如果有一个质量为 $m'$ 的 $p$ 点，受到 $o$ 点的引力 $\vec{F}$ 的作用，会使 $p$ 点有一个指向 $o$ 点加速度 $-\vec{A}$ ，并且

$$\begin{align} F &= - \dfrac{G\ m\ m'}{r^2} \nonumber \\ \vec{F} &= - m'\ \vec{A} \nonumber \end{align}$$

牛顿在没有给出解释的情况下，把式 $\vec{F} = -m'\ \vec{A}$ 中的惯性质量$m'$ 和式 $\vec{F} = - \dfrac{G\ m\ m'}{r^2}\ \vec{e_r}$ 中的引力质量 $m'$ 等同起来，便有了下式：

$$\begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \dfrac{G\ m}{r^2}\ \vec{e_r} \end{equation}$$

$r$ 是 $\vec{r}$ 的数量，$\vec{e_r}$ 是 $\vec{r}$ 的单位矢量。这个就是人们常说的惯性质量等价于引力质量。

如果我们证明了 $p$ 点指向 $o$ 点加速度 $\vec{A}$ ，等于 $o$ 点在 $p$ 点处产生的引力场，就可以证明惯性质量等价于引力质量。

下面我们来给出证明。

前面给出的引力场方程

$$\begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \dfrac{G\ k\ n\ \vec{r}}{\Omega\ r^3} \end{equation}$$

中 ，为了便于分析问题，我们令光速运动空间位移矢量 $\vec{r} = \vec{c}\ t$ 来表示，则引力场方程为：

$$\begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \dfrac{G\ k\ \vec{r}}{\Omega\ r^3} \end{equation}$$

点击展开注解：关于上面两个式子中字母 $\Omega$ 含义的说明

注解

上面第一个式子 $\vec{A} = - \dfrac{G\ k\ n\ \vec{r}}{\Omega\ r^3}$ 和 第二个式子 $\vec{A} = - \dfrac{G\ k\ \vec{r}}{\Omega\ r^3}$ 中的 $\Omega$ 含义是不同的。前者表示 $n$ 条空间位移矢量对应的立体角，后者表示单位空间位移矢量对应的立体角。原文中有时会出现 “同一个字母在不同公式中表示不同含义” 这种不严谨的情况，明白其想表达的意思即可。

由 RainDream 添加

以上方程中，我们令 $\vec{r}$ 的数量 $r$ 不变，只是方向在变化，这样，引力场 $\vec{A}$ 变成了光速运动空间位移 $\vec{r}$ 的方向和立体角 $\Omega$ 之间的对应变化。

$\Omega$ 是包围 $o$ 点的高斯球面 $s = 4 \pi r^2$ 上的一个立体角，在 $r$ 取固定值的情况下，$\Omega$ 的大小正比于 $\vec{r} \cdot \vec{r} = c^2\ t^2$

点击展开疑问：上面想表达的是不是 $\Omega$ 的大小正比于 $s$ ？

疑问

上面想表达的是否是：在 $r$ 取固定值的情况下，$\Omega$ 的大小正比于 $s = 4 \pi r^2$ ？

由 RainDream 添加

因为 $\vec{r}$ 的数量 $r$ 虽然不变，但是，$\vec{r}$ 是矢量，可以通过垂直于 $\vec{r}$ 上的一块面积。

所以，有：

$$\begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \dfrac{G\ k\ \vec{r}}{c^2\ t^2\ r^3} \end{equation}$$

由于 $G,\ k,\ c,\ r$ 都是常数，合并常数，得到：

$$\begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \text{常数乘以} \dfrac{\vec{r}}{t^2} \end{equation}$$

将 $\vec{r}$ 和 $t^2$ 对 $t$ 两次求导数得：

$$\begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \text{常数乘以} \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} \end{equation}$$

点击展开注解：上式的具体推导过程

注解

对 $\vec{A} = - \text{常数乘以} \dfrac{\vec{r}}{t^2}$ 中分式的分子和分母分别对 $t$ 求二阶导，有 $\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} =$ 和 $= 2$ ，因此有：

$$\begin{align} \vec{A} &= - \text{常数乘以}\ \dfrac{d^2\vec{r} / dt^2}{d^2t^2 / dt^2} \nonumber \\ &= - \text{常数乘以}\ \dfrac{d^2\vec{r} / dt^2}{2} \nonumber \\ &= - \dfrac{\text{常数}}{2}\ \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} \nonumber \\ &= - \text{新常数乘以}\ \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} \nonumber \end{align}$$

关于高阶导数的相关知识，可以参考 “同济大学《高等数学》（第七版）上册” p26 第二章 导数与微分 第三节 高阶导数。

由 RainDream 添加

由于牛顿力学是人类历史上最早诞生的力学体系，所以，以上常数可以设定为 $1$ ，就如同牛顿第二定理比例常数可以设定为 $1$ 。所以有：

$$\begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} \end{equation}$$

证明完毕。