在统一场论中,磁场和电场不是同一种场,二者不能直接相互作用,不能直接叠加。
人类已经发现,带电粒子相对于我们观察者以匀速直线运动的时候,可以引起电场的变化,电场变化的部分我们可以认为就是磁场,也就是随速度变化的电场产生了磁场,统一场论继承这种看法。
设想在惯性参照系 s ′ s' s ′ 系里,一个相对于我们观察者静止的 o o o 点,质量为 m ′ m' m ′ 【以速度 v ⃗ \vec{v} v 运动时候为 m m m 】,带有正电荷 q q q ,在周围空间 p p p 【 p p p 点可以看成是空间点,也可以看成是场点、考察点】处产生了静电场 E ′ → \overrightarrow{E'} E ′ ,【如果是负电荷,加一个负号,以速度 v ⃗ \vec{v} v 运动时候为 E ⃗ \vec{E} E 】,由 o o o 点指向 p p p 点的矢径为 r ′ ⃗ \vec{r'} r ′ 运动时候为 r ⃗ \vec{r} r 】。
我们以 r ′ ⃗ \vec{r'} r ′ 的长度 r ′ r' r ′ 【以速度 v ⃗ \vec{v} v 运动时候为 r r r 】为半径作一个高斯面 s ′ = 4 π r ′ 2 s' = 4 \pi {r'}^2 s ′ = 4 π r ′ 2 包围 o o o 点。
在惯性参照系 s s s 系里,当 o o o 点相对于我们以匀速度 v ⃗ \vec{v} v 沿 x x x 轴直线运动的时候,可以引起 v ⃗ \vec{v} v 垂直方向电场的变化,变化的部分我们可以认为就是磁场 B ⃗ \vec{B} B
很简单的想法是运动电场 E ⃗ \vec{E} E 乘以速度 v ⃗ \vec{v} v 就是磁场 B ⃗ \vec{B} B ,由于速度 v ⃗ \vec{v} v 和电场 E ⃗ \vec{E} E 相互垂直时候,产生的磁场最大,因而它们之间应该是矢量叉乘,所以有以下关系,
B ⃗ = 常数乘以 ( v ⃗ × E ⃗ ) \begin{equation}\nonumber
\vec{B} = \text{常数乘以}\ (\vec{v} \times \vec{E})
\end{equation} B = 常数乘以 ( v × E )
为了得到运动电场 E ⃗ \vec{E} E 的几何形式方程,我们把由库伦定理得到的静电场定义方程
E ′ → = q r ′ ⃗ 4 π ε 0 r ′ 3 \begin{equation}\nonumber
\overrightarrow{E'} = \dfrac{q\ \vec{r'}}{4\pi\ \varepsilon_0\ {r'}^3}
\end{equation} E ′ = 4 π ε 0 r ′ 3 q r ′
利用洛伦兹正变换【因为电荷 o o o 点相对于我们观察者在运动】进行修正,可以得到:
E ⃗ = q γ 4 π ε 0 ( x − v t ) i ⃗ + y j ⃗ + z k ⃗ [ γ 2 ( x − v t ) 2 + y 2 + z 2 ] 3 2 \begin{equation}\nonumber
\vec{E} = \dfrac{q\ \gamma}{4\pi\ \varepsilon_0}\ \dfrac{(x-vt)\ \vec{i} + y\ \vec{j} + z\ \vec{k}}{[\gamma^2\ (x - vt)^2 + y^2 + z^2]^\frac{3}{2}}
\end{equation} E = 4 π ε 0 q γ [ γ 2 ( x − v t ) 2 + y 2 + z 2 ] 2 3 ( x − v t ) i + y j + z k
所以,
v ⃗ × E ⃗ = q γ 4 π ε 0 v ⃗ × [ ( x − v t ) i ⃗ + y j ⃗ + z k ⃗ ] [ γ 2 ( x − v t ) 2 + y 2 + z 2 ] 3 2 \begin{equation}\nonumber
\vec{v} \times \vec{E} = \dfrac{q\ \gamma}{4\pi\ \varepsilon_0}\ \dfrac{\vec{v} \times [(x-vt)\ \vec{i} + y\ \vec{j} + z\ \vec{k}]}{[\gamma^2\ (x - vt)^2 + y^2 + z^2]^\frac{3}{2}}
\end{equation} v × E = 4 π ε 0 q γ [ γ 2 ( x − v t ) 2 + y 2 + z 2 ] 2 3 v × [( x − v t ) i + y j + z k ]
令真空磁导率为 μ 0 \mu_0 μ 0 ,因为我们这里讨论的是在真空情况下,则:
B ⃗ = μ 0 q γ 4 π v ⃗ × [ ( x − v t ) i ⃗ + y j ⃗ + z k ⃗ ] [ γ 2 ( x − v t ) 2 + y 2 + z 2 ] 3 2 = μ 0 ε 0 q γ 4 π ε 0 v ⃗ × [ ( x − v t ) i ⃗ + y j ⃗ + z k ⃗ ] [ γ 2 ( x − v t ) 2 + y 2 + z 2 ] 3 2 = μ 0 ε 0 v ⃗ × E ⃗ \begin{equation}\nonumber
\begin{aligned}
\vec{B} &= \dfrac{\mu_0\ q\ \gamma}{4 \pi} \dfrac{\vec{v} \times [(x-vt)\ \vec{i} + y\ \vec{j} + z\ \vec{k}]}{[\gamma^2\ (x - vt)^2 + y^2 + z^2]^\frac{3}{2}} \\
&= \dfrac{\mu_0\ \varepsilon_0\ q\ \gamma}{4 \pi\ \varepsilon_0} \dfrac{\vec{v} \times [(x-vt)\ \vec{i} + y\ \vec{j} + z\ \vec{k}]}{[\gamma^2\ (x - vt)^2 + y^2 + z^2]^\frac{3}{2}} \\
&= \mu_0\ \varepsilon_0\ \vec{v} \times \vec{E}
\end{aligned}
\end{equation} B = 4 π μ 0 q γ [ γ 2 ( x − v t ) 2 + y 2 + z 2 ] 2 3 v × [( x − v t ) i + y j + z k ] = 4 π ε 0 μ 0 ε 0 q γ [ γ 2 ( x − v t ) 2 + y 2 + z 2 ] 2 3 v × [( x − v t ) i + y j + z k ] = μ 0 ε 0 v × E
由于
μ 0 ε 0 = 1 c 2 \begin{equation}\nonumber
\mu_0\ \varepsilon_0 = \dfrac{1}{c^2}
\end{equation} μ 0 ε 0 = c 2 1
所以,上式也是可以写成
B ⃗ = 1 c 2 v ⃗ × E ⃗ \vec{B} = \dfrac{1}{c^2}\ \vec{v} \times \vec{E} B = c 2 1 v × E
所以,磁场的定义方程为:
B ⃗ = μ 0 q γ 4 π v ⃗ × [ ( x − v t ) i ⃗ + y j ⃗ + z k ⃗ ] [ γ 2 ( x − v t ) 2 + y 2 + z 2 ] 3 2 = μ 0 q γ 4 π v ( − z j ⃗ + y k ⃗ ) [ γ 2 ( x − v t ) 2 + y 2 + z 2 ] 3 2 \begin{equation}\nonumber
\begin{aligned}
\vec{B} &= \dfrac{\mu_0\ q\ \gamma}{4 \pi} \dfrac{\vec{v} \times [(x-vt)\ \vec{i} + y\ \vec{j} + z\ \vec{k}]}{[\gamma^2\ (x - vt)^2 + y^2 + z^2]^\frac{3}{2}} \\
&= \dfrac{\mu_0\ q\ \gamma}{4 \pi} \dfrac{v\ (-z \vec{j} + y\ \vec{k})}{[\gamma^2\ (x - vt)^2 + y^2 + z^2]^\frac{3}{2}}
\end{aligned}
\end{equation} B = 4 π μ 0 q γ [ γ 2 ( x − v t ) 2 + y 2 + z 2 ] 2 3 v × [( x − v t ) i + y j + z k ] = 4 π μ 0 q γ [ γ 2 ( x − v t ) 2 + y 2 + z 2 ] 2 3 v ( − z j + y k )
上式中,人类以前一直不清楚电荷 q q q 是什么,现在我们一旦清楚了电荷 q q q 的几何形式,利用以上的电荷定义方程
q = − k ′ k 1 Ω 2 d Ω d t \begin{equation}\nonumber
q = -\ k'\ k\ \dfrac{1}{\Omega^2}\ \dfrac{d\Omega}{dt}
\end{equation} q = − k ′ k Ω 2 1 d t d Ω
可以得到磁场的几何形式定义方程:
B ⃗ = − μ 0 k ′ k 4 π 1 Ω 2 d Ω d t γ v ⃗ × [ ( x − v t ) i ⃗ + y j ⃗ + z k ⃗ ] [ γ 2 ( x − v t ) 2 + y 2 + z 2 ] 3 2 \begin{equation}\nonumber
\vec{B} = -\ \dfrac{\mu_0\ k'\ k}{4 \pi}\ \dfrac{1}{\Omega^2}\ \dfrac{d\Omega}{dt}\ \gamma\ \dfrac{\vec{v} \times [(x-vt)\ \vec{i} + y\ \vec{j} + z\ \vec{k}]}{[\gamma^2\ (x - vt)^2 + y^2 + z^2]^\frac{3}{2}}
\end{equation} B = − 4 π μ 0 k ′ k Ω 2 1 d t d Ω γ [ γ 2 ( x − v t ) 2 + y 2 + z 2 ] 2 3 v × [( x − v t ) i + y j + z k ]
令 θ \theta θ 为矢径 r ⃗ \vec{r} r 】和速度 v v v 之间的夹角, B ⃗ \vec{B} B 可以表示为极坐标形式:
B ⃗ = − μ 0 k ′ k 4 π 1 Ω 2 d Ω d t v s i n θ γ 2 r 2 ( 1 − β 2 s i n 2 θ ) 3 2 e r ⃗ \begin{equation}\nonumber
\vec{B} = -\ \dfrac{\mu_0\ k'\ k}{4 \pi}\ \dfrac{1}{\Omega^2}\ \dfrac{d\Omega}{dt}\ \dfrac{v\ sin\theta}{\gamma^2\ r^2\ (1 - \beta^2\ sin^2\theta)^\frac{3}{2}} \vec{e_r}
\end{equation} B = − 4 π μ 0 k ′ k Ω 2 1 d t d Ω γ 2 r 2 ( 1 − β 2 s i n 2 θ ) 2 3 v s in θ e r
式中的 β = v c \beta = \dfrac{v}{c} β = c v , c c c 是光速, v v v 是 v ⃗ \vec{v} v 的标量形式,e r ⃗ \vec{e_r} e r 是矢量 r ⃗ \vec{r} r (标量为 r r r ) 的单位矢量。
利用质量和电荷之间的关系 q = k ′ d m d t = − k ′ k 1 Ω 2 d Ω d t q = k'\ \dfrac{dm}{dt} = -\ k'\ k\ \dfrac{1}{\Omega^2}\ \dfrac{d\Omega}{dt} q = k ′ d t d m = − k ′ k Ω 2 1 d t d Ω ,可以得到含质量的磁场定义方程:
B ⃗ = μ 0 k ′ 4 π d m d t γ v ⃗ × [ ( x − v t ) i ⃗ + y j ⃗ + z k ⃗ ] [ γ 2 ( x − v t ) 2 + y 2 + z 2 ] 3 2 \begin{equation}\nonumber
\vec{B} = \dfrac{\mu_0\ k'}{4 \pi}\ \dfrac{dm}{dt}\ \gamma\ \dfrac{\vec{v} \times [(x-vt)\ \vec{i} + y\ \vec{j} + z\ \vec{k}]}{[\gamma^2\ (x - vt)^2 + y^2 + z^2]^\frac{3}{2}}
\end{equation} B = 4 π μ 0 k ′ d t d m γ [ γ 2 ( x − v t ) 2 + y 2 + z 2 ] 2 3 v × [( x − v t ) i + y j + z k ]
在下图中,一个相对于我们静止的带正电荷粒子 o o o 点,在周围空间点 p p p 处产生了静电场 E ′ → \overrightarrow{E'} E ′ ,当 o o o 点相对于我们观察者以速度 v ⃗ \vec{v} v 沿 x x x 轴匀速直线运动,可以产生磁场 B ⃗ \vec{B} B 为中心轴线在旋转,B ⃗ \vec{B} B 的旋转和 v ⃗ \vec{v} v 满足右手螺旋关系。
磁场 B ⃗ \vec{B} B 和运动电场 E ⃗ \vec{E} E 以及电荷运动速度 v ⃗ \vec{v} v 满足以下关系:
B ⃗ = 1 c 2 v ⃗ × E ⃗ \begin{equation}\nonumber
\vec{B} = \dfrac{1}{c^2}\ \vec{v} \times \vec{E}
\end{equation} B = c 2 1 v × E
按照矢量叉乘和斯托克斯定理排列顺序的习惯,y y y 叉乘以 z z z 形成了 x x x 方向上的矢量面元,z z z 叉乘以 x x x 形成了沿 y y y 方向的矢量面元,x x x 叉乘以 y y y 形成了沿 z z z 方向的矢量面元,三个分量满足以下右手螺旋关系:
B x → = 0 ⃗ B y → = − 1 c 2 v ⃗ × E z → B z → = 1 c 2 v ⃗ × E y → \begin{align}
\overrightarrow{B_x} &= \vec{0} \nonumber \\
\overrightarrow{B_y} &= -\ \dfrac{1}{c^2}\ \vec{v} \times \overrightarrow{E_z} \nonumber \\
\overrightarrow{B_z} &= \dfrac{1}{c^2}\ \vec{v} \times \overrightarrow{E_y} \nonumber
\end{align} B x B y B z = 0 = − c 2 1 v × E z = c 2 1 v × E y
其中 v ⃗ \vec{v} v 是电荷粒子 o o o 点沿 x x x 轴的的运动速度。
按照统一场论的看法,物体粒子静止时候周围空间点的运动速度是矢量光速 c ′ ⃗ \vec{c'} c ′ ,当物体粒子以速度 v ⃗ \vec{v} v 运动的时候,周围空间点的运动速度为 c ⃗ − v ⃗ \vec{c} - \vec{v} c − v
o o o 点静止时候,周围空间点 p p p 是以矢量光速 c ′ ⃗ \vec{c'} c ′ 在运动,当 o o o 点以速度 v ⃗ \vec{v} v 沿 x x x 轴直线运动的时候,p p p 点的矢量光速和 E ⃗ \vec{E} E 一致,另外还叠加一个运动速度 − v ⃗ -\vec{v} − v ,和 o o o 点运动速度 v ⃗ \vec{v} v 正好相反。
当我们把考察点放在 p p p 点上,就应该把 o o o 点的运动速度换成空间点 p p p 的运动速度,以上的分量关系变成了如下左手螺旋式:
B x → = 0 ⃗ B y → = 1 c 2 v ⃗ × E z → B z → = − 1 c 2 v ⃗ × E y → \begin{align}
\overrightarrow{B_x} &= \vec{0} \nonumber \\
\overrightarrow{B_y} &= \dfrac{1}{c^2}\ \vec{v} \times \overrightarrow{E_z} \nonumber \\
\overrightarrow{B_z} &= -\ \dfrac{1}{c^2}\ \vec{v} \times \overrightarrow{E_y} \nonumber
\end{align} B x B y B z = 0 = c 2 1 v × E z = − c 2 1 v × E y
当我们考察空间点 p p p 点的情况,用这个分量公式更直接方便。
在下图中,当电荷 o o o 点从 a a a 点开始,以匀速圆周运动到 b b b 点的时候,空间的旋转运动在这个圆周的正反两个面上一进一出,进的一面是 S S S 极,出来的一面叫 N N N 极。
从磁场这种几何形式来看,自然界不存在有磁单极子的。
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