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三十三、磁场的定义方程

在统一场论中,磁场和电场不是同一种场,二者不能直接相互作用,不能直接叠加。

人类已经发现,带电粒子相对于我们观察者以匀速直线运动的时候,可以引起电场的变化,电场变化的部分我们可以认为就是磁场,也就是随速度变化的电场产生了磁场,统一场论继承这种看法。

设想在惯性参照系 ss' 系里,一个相对于我们观察者静止的 oo 点,质量为 mm' 【以速度 v\vec{v} 运动时候为 mm 】,带有正电荷 qq ,在周围空间 pppp 点可以看成是空间点,也可以看成是场点、考察点】处产生了静电场 E\overrightarrow{E'} ,【如果是负电荷,加一个负号,以速度 v\vec{v} 运动时候为 E\vec{E} 】,由 oo 点指向 pp 点的矢径为 r\vec{r'} 运动时候为 r\vec{r} 】。

我们以 r\vec{r'} 的长度 rr' 【以速度 v\vec{v} 运动时候为 rr 】为半径作一个高斯面 s=4πr2s' = 4 \pi {r'}^2 包围 oo 点。

在惯性参照系 ss 系里,当 oo 点相对于我们以匀速度 v\vec{v} 沿 xx 轴直线运动的时候,可以引起 v\vec{v} 垂直方向电场的变化,变化的部分我们可以认为就是磁场 B\vec{B}

很简单的想法是运动电场 E\vec{E} 乘以速度 v\vec{v} 就是磁场 B\vec{B} ,由于速度 v\vec{v} 和电场 E\vec{E} 相互垂直时候,产生的磁场最大,因而它们之间应该是矢量叉乘,所以有以下关系,

B=常数乘以 (v×E)\begin{equation}\nonumber \vec{B} = \text{常数乘以}\ (\vec{v} \times \vec{E}) \end{equation}

为了得到运动电场 E\vec{E} 的几何形式方程,我们把由库伦定理得到的静电场定义方程

E=q r4π ε0 r3\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{E'} = \dfrac{q\ \vec{r'}}{4\pi\ \varepsilon_0\ {r'}^3} \end{equation}

利用洛伦兹正变换【因为电荷 oo 点相对于我们观察者在运动】进行修正,可以得到:

E=q γ4π ε0 (xvt) i+y j+z k[γ2 (xvt)2+y2+z2]32\begin{equation}\nonumber \vec{E} = \dfrac{q\ \gamma}{4\pi\ \varepsilon_0}\ \dfrac{(x-vt)\ \vec{i} + y\ \vec{j} + z\ \vec{k}}{[\gamma^2\ (x - vt)^2 + y^2 + z^2]^\frac{3}{2}} \end{equation}

所以,

v×E=q γ4π ε0 v×[(xvt) i+y j+z k][γ2 (xvt)2+y2+z2]32\begin{equation}\nonumber \vec{v} \times \vec{E} = \dfrac{q\ \gamma}{4\pi\ \varepsilon_0}\ \dfrac{\vec{v} \times [(x-vt)\ \vec{i} + y\ \vec{j} + z\ \vec{k}]}{[\gamma^2\ (x - vt)^2 + y^2 + z^2]^\frac{3}{2}} \end{equation}

令真空磁导率为 μ0\mu_0 ,因为我们这里讨论的是在真空情况下,则:

B=μ0 q γ4πv×[(xvt) i+y j+z k][γ2 (xvt)2+y2+z2]32=μ0 ε0 q γ4π ε0v×[(xvt) i+y j+z k][γ2 (xvt)2+y2+z2]32=μ0 ε0 v×E\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \vec{B} &= \dfrac{\mu_0\ q\ \gamma}{4 \pi} \dfrac{\vec{v} \times [(x-vt)\ \vec{i} + y\ \vec{j} + z\ \vec{k}]}{[\gamma^2\ (x - vt)^2 + y^2 + z^2]^\frac{3}{2}} \\ &= \dfrac{\mu_0\ \varepsilon_0\ q\ \gamma}{4 \pi\ \varepsilon_0} \dfrac{\vec{v} \times [(x-vt)\ \vec{i} + y\ \vec{j} + z\ \vec{k}]}{[\gamma^2\ (x - vt)^2 + y^2 + z^2]^\frac{3}{2}} \\ &= \mu_0\ \varepsilon_0\ \vec{v} \times \vec{E} \end{aligned} \end{equation}

由于

μ0 ε0=1c2\begin{equation}\nonumber \mu_0\ \varepsilon_0 = \dfrac{1}{c^2} \end{equation}

所以,上式也是可以写成

B=1c2 v×E\vec{B} = \dfrac{1}{c^2}\ \vec{v} \times \vec{E}

所以,磁场的定义方程为:

B=μ0 q γ4πv×[(xvt) i+y j+z k][γ2 (xvt)2+y2+z2]32=μ0 q γ4πv (zj+y k)[γ2 (xvt)2+y2+z2]32\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \vec{B} &= \dfrac{\mu_0\ q\ \gamma}{4 \pi} \dfrac{\vec{v} \times [(x-vt)\ \vec{i} + y\ \vec{j} + z\ \vec{k}]}{[\gamma^2\ (x - vt)^2 + y^2 + z^2]^\frac{3}{2}} \\ &= \dfrac{\mu_0\ q\ \gamma}{4 \pi} \dfrac{v\ (-z \vec{j} + y\ \vec{k})}{[\gamma^2\ (x - vt)^2 + y^2 + z^2]^\frac{3}{2}} \end{aligned} \end{equation}

上式中,人类以前一直不清楚电荷 qq 是什么,现在我们一旦清楚了电荷 qq 的几何形式,利用以上的电荷定义方程

q= k k 1Ω2 dΩdt\begin{equation}\nonumber q = -\ k'\ k\ \dfrac{1}{\Omega^2}\ \dfrac{d\Omega}{dt} \end{equation}

可以得到磁场的几何形式定义方程:

B= μ0 k k4π 1Ω2 dΩdt γ v×[(xvt) i+y j+z k][γ2 (xvt)2+y2+z2]32\begin{equation}\nonumber \vec{B} = -\ \dfrac{\mu_0\ k'\ k}{4 \pi}\ \dfrac{1}{\Omega^2}\ \dfrac{d\Omega}{dt}\ \gamma\ \dfrac{\vec{v} \times [(x-vt)\ \vec{i} + y\ \vec{j} + z\ \vec{k}]}{[\gamma^2\ (x - vt)^2 + y^2 + z^2]^\frac{3}{2}} \end{equation}

θ\theta 为矢径 r\vec{r} 】和速度 vv 之间的夹角, B\vec{B} 可以表示为极坐标形式:

B= μ0 k k4π 1Ω2 dΩdt v sinθγ2 r2 (1β2 sin2θ)32er\begin{equation}\nonumber \vec{B} = -\ \dfrac{\mu_0\ k'\ k}{4 \pi}\ \dfrac{1}{\Omega^2}\ \dfrac{d\Omega}{dt}\ \dfrac{v\ sin\theta}{\gamma^2\ r^2\ (1 - \beta^2\ sin^2\theta)^\frac{3}{2}} \vec{e_r} \end{equation}

式中的 β=vc\beta = \dfrac{v}{c} , cc 是光速, vvv\vec{v} 的标量形式,er\vec{e_r} 是矢量 r\vec{r} (标量为 rr ) 的单位矢量。

利用质量和电荷之间的关系 q=k dmdt= k k 1Ω2 dΩdtq = k'\ \dfrac{dm}{dt} = -\ k'\ k\ \dfrac{1}{\Omega^2}\ \dfrac{d\Omega}{dt} ,可以得到含质量的磁场定义方程:

B=μ0 k4π dmdt γ v×[(xvt) i+y j+z k][γ2 (xvt)2+y2+z2]32\begin{equation}\nonumber \vec{B} = \dfrac{\mu_0\ k'}{4 \pi}\ \dfrac{dm}{dt}\ \gamma\ \dfrac{\vec{v} \times [(x-vt)\ \vec{i} + y\ \vec{j} + z\ \vec{k}]}{[\gamma^2\ (x - vt)^2 + y^2 + z^2]^\frac{3}{2}} \end{equation}

在下图中,一个相对于我们静止的带正电荷粒子 oo 点,在周围空间点 pp 处产生了静电场 E\overrightarrow{E'} ,当 oo 点相对于我们观察者以速度 v\vec{v} 沿 xx 轴匀速直线运动,可以产生磁场 B\vec{B} 为中心轴线在旋转,B\vec{B} 的旋转和 v\vec{v} 满足右手螺旋关系。

磁场 B\vec{B} 和运动电场 E\vec{E} 以及电荷运动速度 v\vec{v} 满足以下关系:

B=1c2 v×E\begin{equation}\nonumber \vec{B} = \dfrac{1}{c^2}\ \vec{v} \times \vec{E} \end{equation}

按照矢量叉乘和斯托克斯定理排列顺序的习惯,yy 叉乘以 zz 形成了 xx 方向上的矢量面元,zz 叉乘以 xx 形成了沿 yy 方向的矢量面元,xx 叉乘以 yy 形成了沿 zz 方向的矢量面元,三个分量满足以下右手螺旋关系:

Bx=0By= 1c2 v×EzBz=1c2 v×Ey\begin{align} \overrightarrow{B_x} &= \vec{0} \nonumber \\ \overrightarrow{B_y} &= -\ \dfrac{1}{c^2}\ \vec{v} \times \overrightarrow{E_z} \nonumber \\ \overrightarrow{B_z} &= \dfrac{1}{c^2}\ \vec{v} \times \overrightarrow{E_y} \nonumber \end{align}

其中 v\vec{v} 是电荷粒子 oo 点沿 xx 轴的的运动速度。

按照统一场论的看法,物体粒子静止时候周围空间点的运动速度是矢量光速 c\vec{c'} ,当物体粒子以速度 v\vec{v} 运动的时候,周围空间点的运动速度为 cv\vec{c} - \vec{v}

oo 点静止时候,周围空间点 pp 是以矢量光速 c\vec{c'} 在运动,当 oo 点以速度 v\vec{v} 沿 xx 轴直线运动的时候,pp 点的矢量光速和 E\vec{E} 一致,另外还叠加一个运动速度 v-\vec{v} ,和 oo 点运动速度 v\vec{v} 正好相反。

当我们把考察点放在 pp 点上,就应该把 oo 点的运动速度换成空间点 pp 的运动速度,以上的分量关系变成了如下左手螺旋式:

Bx=0By=1c2 v×EzBz= 1c2 v×Ey\begin{align} \overrightarrow{B_x} &= \vec{0} \nonumber \\ \overrightarrow{B_y} &= \dfrac{1}{c^2}\ \vec{v} \times \overrightarrow{E_z} \nonumber \\ \overrightarrow{B_z} &= -\ \dfrac{1}{c^2}\ \vec{v} \times \overrightarrow{E_y} \nonumber \end{align}

当我们考察空间点 pp 点的情况,用这个分量公式更直接方便。

在下图中,当电荷 oo 点从 aa 点开始,以匀速圆周运动到 bb 点的时候,空间的旋转运动在这个圆周的正反两个面上一进一出,进的一面是 SS 极,出来的一面叫 NN 极。

从磁场这种几何形式来看,自然界不存在有磁单极子的。

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