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二十四、统一场论动量公式

统一场论的静止动量公式

段落标题 统一场论的静止动量公式

统一场论的基本假设为:

宇宙中任意一个物体 oo 点,相对于我们观察者静止的时候,周围空间总是以物体为中心、以矢量光速、以圆柱状螺旋式向外发散运动。

设想有一个质点 oo 相对于我们观测者静止,周围空间中任意一个空间点 pp ,在零时刻从 oo 点出发,以矢量光速度 c\vec{c'} 沿某一个方向运动,经历了时间 tt' ,在 tt'' 时刻到达 pp 点后来所在的位置。

点击展开注解:关于上述变量的命名问题

设想质点 oo 周围空间总共有 nn 条空间点的矢量位移,我们用 r=c t\vec{r'} = \vec{c'}\ t' 表示其中一条的位移量。

我们在 oo 点周围取个适当的立体角 Ω\Omega ,里面恰巧包含一条空间矢量位移 r=c t\vec{r'} = \vec{c'}\ t'

L=k rΩ\begin{equation}\nonumber \vec{L} = k\ \dfrac{\vec{r'}}{\Omega} \end{equation}

可以反映出 oo 点周围局部地区的空间的运动量。式中的 kk 是比例常数,Ω\Omega 是一个任意大小的立体角。

点击展开修正:Ω\Omega 不是任意大小的立体角,而是单位空间矢量位移对应的立体角。

L=k rΩ\vec{L} = k\ \dfrac{\vec{r'}}{\Omega}r\vec{r'} 对时间 tt' 求偏导数,可以反映出 oo 点局部地区的运动空间随时间 tt' 的运动程度。

Lt=k rt 1Ω=k cΩ\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial\vec{L}}{\partial t'} = k\ \dfrac{\partial\vec{r'}}{\partial t'}\ \dfrac{1}{\Omega} = \dfrac{k\ c'}{\Omega} \end{equation}

注意 r=c t\vec{r'} = \vec{c'}\ t' 。利用前面质量的定义方程 m=kΩm = \dfrac{k}{\Omega} ,

可以把上式改写为统一场论的静止动量公式:

p=m c\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{p_\text{静}} = m'\ \vec{c'} \end{equation}

这里的动量定义方程中把质量用 mm' 表示,是为了区分将要出现的运动质量 mmc\vec{c'} 是为了区分将要出现的运动矢量光速 c\vec{c}

oo 点的静止动量反映了 oo 点静止时候周围空间的运动程度。

我们要认识到,oo 点的静止动量是周围的空间点 pp 的运动位移量 r\vec{r'} 随立体角度 Ω\Omega 、时间 tt' 的变化的变化程度,不随 oo 点和 pp 点之间距离的变化而变化。

所以,我们测量一个物体 oo 点静止动量的大小,不需要考虑 oo 点与周围空间中一个考察点 pp 之间距离,这一点和引力场不一样。当 oo 点运动的时候,运动动量这种情况也是类似的。

设想 ss' 系相对于 ss 系以匀速度 v\vec{v} 【标量为 vv】沿 xx 轴正方向直线运动。

以上的 oo 点相对于 ss' 系观察者静止,具有静止动量 m cm'\ \vec{c'}

前面我们分析过,当 oo 点相对于 ss 系里的观察者以速度 v\vec{v} 运动的时候,静止动量的两部分——质量和矢量光速都要发生变化。

ss' 系里,oo 点的静止质量为 mm',在 ss 系里变成了运动质量 mm

ss' 系里,oo 点周围空间点 pp 相对于 ss' 系里观察者的矢量光速为 c\vec{c'};在 ss 系里,oo 点周围空间点 pp 相对于 ss 系里观察者的矢量光速为 c\vec{c}

c\vec{c}c\vec{c'} 方向不一样,但模是一样的,都是 cc ,也就是:

cc=cc=c2\begin{equation}\nonumber \vec{c'} \cdot \vec{c'} = \vec{c} \cdot \vec{c} = c^2 \end{equation}

详细的证明在第二十二节《解释洛伦兹变换中的光速不变》中的第4小节《光源运动速度 v\vec{v} 和矢量光速 c\vec{c} 之间的关系》。

ss 系里,运动动量是不是就可以写成 m cm\ \vec{c}

明显不行,因为 c\vec{c} 是质点 oo 点周围空间点 pp 相对于 ss 系中观察者的速度,不是相对于质点 oo 点的运动速度。

动量反映的是质点 oo 点周围空间的运动情况,而不是反映观察者周围空间的运动情况。

ss' 系里,观察者和质点 oo 点是相对静止的,pp 点相对于质点 oo 点的速度和相对于观察者的速度没有区别。

但是,在 ss 系里是有区别的,因为在 ss 系里质点 oo 点是在以速度 v\vec{v} 相对观察者沿 xx 轴直线运动。

ss 系里,c\vec{c}pp 点相对于 ss 系里观察者的速度,c\vec{c} 也是 pp 点相对于质点 oo 点的运动速度【我们用 u\vec{u} 表示】和 v\vec{v} 的叠加,也就是 c=u+v\vec{c} = \vec{u} + \vec{v}

所以,在 ss 系里,pp 点相对于 oo 点的运动速度应该是:

u=cv\begin{equation}\nonumber \vec{u} = \vec{c} - \vec{v} \end{equation}

所以,运动动量可以写为:

p=m u=m (cv)\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{p_\text{动}} = m\ \vec{u} = m\ (\vec{c} - \vec{v}) \end{equation}

相对论力学、牛顿力学认为物体周围空间的光速运动不存在,也就是 c=0\vec{c} = \vec{0} ,所以,牛顿力学、相对论的动量方程是

p=m v\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{p_\text{动}} = m\ \vec{v} \end{equation}

也可以说,相对论、牛顿力学的动量 m vm\ \vec{v} ,只是统一场论动量公式 p=m (cv)\overrightarrow{p_\text{动}} = m\ (\vec{c} - \vec{v})m cm\ \vec{c} 变化的时候的一个变化量。

统一场论动量公式只是把牛顿、相对论动量公式扩展了,包含了物体静止时候周围空间的矢量光速运动,没有完全否定相对论、牛顿力学动量公式。

物体运动时候的动量和静止时候的数量是相等的

段落标题 物体运动时候的动量和静止时候的数量是相等的

将运动动量公式 p=m (cv)\overrightarrow{p_\text{动}} = m\ (\vec{c} - \vec{v}) 两边对自身点乘,结果为:

p2=m2 (c22 cv+v2)p=m c22 cv+v2\begin{align} p^2 &= m^2\ (c^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v} + v^2) \nonumber \\ p &= m\ \sqrt{c^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v} + v^2} \nonumber \end{align}

我们应该合理地认为,物体静止时候的静止动量 m cm'\ \vec{c'} 的数量 m cm'\ c ,和运动时候的运动动量 m (cv)m\ (\vec{c} - \vec{v}) 的数量 m c22 cv+v2m\ \sqrt{c^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v} + v^2} 应该是相等的,不同的只是方向。所以,应该有:

m c=m c22 cv+v2\begin{equation}\nonumber m'\ c = m\ \sqrt{c^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v} + v^2} \end{equation}

由于光速不变、光速最大的限制,当物体运动速度 v\vec{v} 很大的时候,接近于光速 c\vec{c}v\vec{v}c\vec{c} 之间的夹角 θ\theta 也会趋向于零,如果不趋向于零,就有超光速出现。严格的证明如下:

ss' 系相对于 ss 系以匀速度 v\vec{v} 沿 xx 轴【或者 xx' 轴,xx' 轴和 xx 轴相互重合】直线运动。

ss' 系里,令物体 oo 点周围空间点 pp 的矢量光速为 c\vec{c'}cxc_x'c\vec{c'}xx' 轴上的分量,θ\theta'c\vec{c'}xx' 轴【或者 cx\vec{c'_x} ,因为 cx\vec{c'_x}xx' 轴平行】之间的夹角。所以有:

cos θ=cxc\begin{equation}\nonumber cos\ \theta' = \dfrac{c_x'}{c} \end{equation}

cxc_x'cx\vec{c_x'} 的标量,ccc\vec{c'} 的标量。

ss 系里,有:

cos θ=cxc\begin{equation}\nonumber cos\ \theta = \dfrac{c_x}{c} \end{equation}

θ\thetass 系里 c\vec{c}cx\vec{c_x} 之间的夹角。cxc_xc\vec{c}xx 轴上的分量 cx\vec{c_x} 的标量。

根据洛伦兹速度变换的逆变换公式:

cx=cx+v1+cx vc2\begin{equation}\nonumber c_x = \dfrac{c_x' + v}{1 + \dfrac{c_x'\ v}{c^2}} \end{equation}
点击展开注解:上述公式的具体推导

加以上的 cos θ=cxccos\ \theta = \dfrac{c_x}{c}cos θ=cxccos\ \theta' = \dfrac{c_x'}{c} ,可以导出:

cos θ=cos θ+vc1+vc cos θ\begin{equation}\nonumber cos\ \theta = \dfrac{cos\ \theta' + \dfrac{v}{c}}{1 + \dfrac{v}{c}\ cos\ \theta'} \end{equation}

从上式可以看出,当速度 v\vec{v} 的数量 vv 接近于光速 cc 的时候,cos θcos\ \theta 接近于 11 ,也就是 θ\theta 接近于 00

当运动速度 v\vec{v} 和光速 c\vec{c} 很接近,我们忽略了 v\vec{v} 的数量 vvc\vec{c} 的数量 cc 之间的差别,v\vec{v}c\vec{c} 之间的夹角 θ\theta 也趋向于零,结果有:

vcv\approx c 的时候,cvv2\vec{c} \cdot \vec{v} \approx v^2【我们如果选择 cvc2\vec{c} \cdot \vec{v} \approx c^2 ,结果会出现虚数而没有意义】,结果有:

m c=m c2v2\begin{equation}\nonumber m'\ c = m\ \sqrt{c^2 - v^2} \end{equation}

注意,上式中我们虽然忽略了 ccvv 之间的差,但保留了 c2c^2v2v^2 之间的差。

比如 9988 之间的差是 11 ,而 929^2828^2 之间的差是 1717,我们只能忽略小的值,保留大的值,这样才合理。

对上式两边除以标量光速 cc,得:

m=m1v2c2\begin{equation}\nonumber m = \dfrac{m'}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \end{equation}

这个式子大家是不是很眼熟?不错,它就是大名鼎鼎的相对论质速公式。

原来物体以速度 v\vec{v} 运动的时候,质量 mm 的增大,是以减少本来的周围运动空间的光速 c\vec{c} 为代价的,动量总的数量仍然是守恒的。

这个就是把动量守恒范围扩大到不同的参考系中,也就是相互运动的观察者,测量同一个物体的动量,总的数量是不变的。

这个哲学思想是-----观察者只能观察运动状态,而不能改变运动状态。

我们再用 (cv)(\vec{c} - \vec{v}) 的分量形式来分析式

m c=m c22 cv+v2\begin{equation}\nonumber m'\ c = m\ \sqrt{c^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v} + v^2} \end{equation}

(cv)(\vec{c} - \vec{v}) 的三个分量是 (cxvx),(cyvy),(czvz)(c_x - v_x), (c_y - v_y), (c_z - v_z) ,,,令 (cv)(\vec{c} - \vec{v}) 的数量为 uu ,则:

u=(cxvx)2+(cyvy)2+(czvz)2=cx2+cy2+cz2+vx2+vy2+vz22 cv=c2+v22 cv\begin{align} u &= \sqrt{(c_x - v_x)^2 + (c_y - v_y)^2 + (c_z - v_z)^2} \nonumber \\ &= \sqrt{c_x^2 + c_y^2 + c_z^2 + v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v}} \nonumber \\ &= \sqrt{c^2 + v^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v}} \nonumber \end{align}

情况是相同的。

m=m 1v2c2m' = m\ \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} 两边同时乘以标量光速的平方可以得到相对论的能量方程:

E=m c2=m c2 1v2c2\begin{equation}\nonumber E = m'\ c^2 = m\ c^2\ \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} \end{equation}

后面还有详细的论证。

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