统一场论的基本假设为:
宇宙中任意一个物体 o 点,相对于我们观察者静止的时候,周围空间总是以物体为中心、以矢量光速、以圆柱状螺旋式向外发散运动。
设想有一个质点 o 相对于我们观测者静止,周围空间中任意一个空间点 p ,在零时刻从 o 点出发,以矢量光速度 c′ 沿某一个方向运动,经历了时间 t′ ,在 t′′ 时刻到达 p 点后来所在的位置。
点击展开注解:关于上述变量的命名问题
设想质点 o 周围空间总共有 n 条空间点的矢量位移,我们用 r′=c′ t′ 表示其中一条的位移量。
我们在 o 点周围取个适当的立体角 Ω ,里面恰巧包含一条空间矢量位移 r′=c′ t′
L=k Ωr′
可以反映出 o 点周围局部地区的空间的运动量。式中的 k 是比例常数,Ω 是一个任意大小的立体角。
点击展开修正:Ω 不是任意大小的立体角,而是单位空间矢量位移对应的立体角。
将 L=k Ωr′ 中 r′ 对时间 t′ 求偏导数,可以反映出 o 点局部地区的运动空间随时间 t′ 的运动程度。
∂t′∂L=k ∂t′∂r′ Ω1=Ωk c′
注意 r′=c′ t′ 。利用前面质量的定义方程 m=Ωk ,
可以把上式改写为统一场论的静止动量公式:
p静=m′ c′
这里的动量定义方程中把质量用 m′ 表示,是为了区分将要出现的运动质量 m ,c′ 是为了区分将要出现的运动矢量光速 c
o 点的静止动量反映了 o 点静止时候周围空间的运动程度。
我们要认识到,o 点的静止动量是周围的空间点 p 的运动位移量 r′ 随立体角度 Ω 、时间 t′ 的变化的变化程度,不随 o 点和 p 点之间距离的变化而变化。
所以,我们测量一个物体 o 点静止动量的大小,不需要考虑 o 点与周围空间中一个考察点 p 之间距离,这一点和引力场不一样。当 o 点运动的时候,运动动量这种情况也是类似的。
设想 s′ 系相对于 s 系以匀速度 v 【标量为 v】沿 x 轴正方向直线运动。
以上的 o 点相对于 s′ 系观察者静止,具有静止动量 m′ c′
前面我们分析过,当 o 点相对于 s 系里的观察者以速度 v 运动的时候,静止动量的两部分——质量和矢量光速都要发生变化。
在 s′ 系里,o 点的静止质量为 m′,在 s 系里变成了运动质量 m
在 s′ 系里,o 点周围空间点 p 相对于 s′ 系里观察者的矢量光速为 c′;在 s 系里,o 点周围空间点 p 相对于 s 系里观察者的矢量光速为 c
c 和 c′ 方向不一样,但模是一样的,都是 c ,也就是:
c′⋅c′=c⋅c=c2
详细的证明在第二十二节《解释洛伦兹变换中的光速不变》中的第4小节《光源运动速度 v 和矢量光速 c 之间的关系》。
在 s 系里,运动动量是不是就可以写成 m c ?
明显不行,因为 c 是质点 o 点周围空间点 p 相对于 s 系中观察者的速度,不是相对于质点 o 点的运动速度。
动量反映的是质点 o 点周围空间的运动情况,而不是反映观察者周围空间的运动情况。
在 s′ 系里,观察者和质点 o 点是相对静止的,p 点相对于质点 o 点的速度和相对于观察者的速度没有区别。
但是,在 s 系里是有区别的,因为在 s 系里质点 o 点是在以速度 v 相对观察者沿 x 轴直线运动。
在 s 系里,c 是 p 点相对于 s 系里观察者的速度,c 也是 p 点相对于质点 o 点的运动速度【我们用 u 表示】和 v 的叠加,也就是 c=u+v
所以,在 s 系里,p 点相对于 o 点的运动速度应该是:
u=c−v
所以,运动动量可以写为:
p动=m u=m (c−v)
相对论力学、牛顿力学认为物体周围空间的光速运动不存在,也就是 c=0 ,所以,牛顿力学、相对论的动量方程是
p动=m v
也可以说,相对论、牛顿力学的动量 m v ,只是统一场论动量公式 p动=m (c−v) 中 m c 变化的时候的一个变化量。
统一场论动量公式只是把牛顿、相对论动量公式扩展了,包含了物体静止时候周围空间的矢量光速运动,没有完全否定相对论、牛顿力学动量公式。
将运动动量公式 p动=m (c−v) 两边对自身点乘,结果为:
p2p=m2 (c2−2 c⋅v+v2)=m c2−2 c⋅v+v2
我们应该合理地认为,物体静止时候的静止动量 m′ c′ 的数量 m′ c ,和运动时候的运动动量 m (c−v) 的数量 m c2−2 c⋅v+v2 应该是相等的,不同的只是方向。所以,应该有:
m′ c=m c2−2 c⋅v+v2
由于光速不变、光速最大的限制,当物体运动速度 v 很大的时候,接近于光速 c ,v 和 c 之间的夹角 θ 也会趋向于零,如果不趋向于零,就有超光速出现。严格的证明如下:
s′ 系相对于 s 系以匀速度 v 沿 x 轴【或者 x′ 轴,x′ 轴和 x 轴相互重合】直线运动。
在 s′ 系里,令物体 o 点周围空间点 p 的矢量光速为 c′ ,cx′ 为 c′ 在 x′ 轴上的分量,θ′ 为 c′ 和 x′ 轴【或者 cx′ ,因为 cx′ 和 x′ 轴平行】之间的夹角。所以有:
cos θ′=ccx′
cx′ 为 cx′ 的标量,c 是 c′ 的标量。
在 s 系里,有:
cos θ=ccx
θ 为 s 系里 c 和 cx 之间的夹角。cx 是 c 在 x 轴上的分量 cx 的标量。
根据洛伦兹速度变换的逆变换公式:
cx=1+c2cx′ vcx′+v
点击展开注解:上述公式的具体推导
加以上的 cos θ=ccx , cos θ′=ccx′ ,可以导出:
cos θ=1+cv cos θ′cos θ′+cv
从上式可以看出,当速度 v 的数量 v 接近于光速 c 的时候,cos θ 接近于 1 ,也就是 θ 接近于 0 。
当运动速度 v 和光速 c 很接近,我们忽略了 v 的数量 v 和 c 的数量 c 之间的差别,v 和 c 之间的夹角 θ 也趋向于零,结果有:
v≈c 的时候,c⋅v≈v2【我们如果选择 c⋅v≈c2 ,结果会出现虚数而没有意义】,结果有:
m′ c=m c2−v2
注意,上式中我们虽然忽略了 c 和 v 之间的差,但保留了 c2 和 v2 之间的差。
比如 9 和 8 之间的差是 1 ,而 92 和 82 之间的差是 17,我们只能忽略小的值,保留大的值,这样才合理。
对上式两边除以标量光速 c,得:
m=1−c2v2m′
这个式子大家是不是很眼熟?不错,它就是大名鼎鼎的相对论质速公式。
原来物体以速度 v 运动的时候,质量 m 的增大,是以减少本来的周围运动空间的光速 c 为代价的,动量总的数量仍然是守恒的。
这个就是把动量守恒范围扩大到不同的参考系中,也就是相互运动的观察者,测量同一个物体的动量,总的数量是不变的。
这个哲学思想是-----观察者只能观察运动状态,而不能改变运动状态。
我们再用 (c−v) 的分量形式来分析式
m′ c=m c2−2 c⋅v+v2
(c−v) 的三个分量是 (cx−vx),(cy−vy),(cz−vz) ,,,令 (c−v) 的数量为 u ,则:
u=(cx−vx)2+(cy−vy)2+(cz−vz)2=cx2+cy2+cz2+vx2+vy2+vz2−2 c⋅v=c2+v2−2 c⋅v
情况是相同的。
对 m′=m 1−c2v2 两边同时乘以标量光速的平方可以得到相对论的能量方程:
E=m′ c2=m c2 1−c2v2
后面还有详细的论证。
Learn