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三十四、推导麦克斯韦方程

麦克斯韦方程组4个方程可以描述出电磁现象所有的规律,但它不是最基本的。

利用电场、磁场的定义方程、场论中的高斯定理、斯托克斯定理,相对论中的洛伦兹变换,可以推导出麦克斯韦4个方程。

导出静电场 E’ 的旋度

段落标题 导出静电场 E’ 的旋度

对于静止电荷 oo 点,带有电荷 qq ,在周围产生的的静电场 E\overrightarrow{E'} ,对电场定义方程

E=f 1Ω2 dΩdt rr3\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{E'} = f\ \dfrac{1}{\Omega^2}\ \dfrac{d\Omega}{dt}\ \dfrac{\vec{r}}{r^3} \end{equation}
点击展开注解:关于上式中的 ff

直接求旋度,注意,式中右边仅 rr3\dfrac{\vec{r}}{r^3} 是变量,得:

×E=0\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{E'} = \vec{0} \end{equation}

上式可以分解为以下三个分式:

EzyEyz=0ExzEzx=0EyxExy=0\begin{align} \dfrac{\partial E_z'}{\partial y'} - \dfrac{\partial E_y'}{\partial z'} &= 0 \nonumber \\ \dfrac{\partial E_x'}{\partial z'} - \dfrac{\partial E_z'}{\partial x'} &= 0 \nonumber \\ \dfrac{\partial E_y'}{\partial x'} - \dfrac{\partial E_x'}{\partial y'} &= 0 \nonumber \end{align}

导出静电场 E’ 的散度

段落标题 导出静电场 E’ 的散度

对静电场定义方程

E=f 1Ω2 dΩdt rr3\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{E'} = f\ \dfrac{1}{\Omega^2}\ \dfrac{d\Omega}{dt}\ \dfrac{\vec{r}}{r^3} \end{equation}

直接求散度,注意式中右边仅 rr3\dfrac{\vec{r}}{r^3} 是变量,得:

E=0\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E'} = 0 \end{equation}

上式中的 rr 是包围 oo 点的高斯球面 ss 的半径,在 rr 趋近于零【也可以说高斯球面上的考察点——空间点 pp 无限趋近于电荷 oo 点】,且 oo 点可以看成一个无限小的带电球体的情况下,式子出现了 0/00/0 的情况,利用狄拉克 δ\delta 函数,可以得到:

E=Exx+Eyy+Ezz=ρε0\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E'} = \dfrac{\partial E_x'}{\partial x'} + \dfrac{\partial E_y'}{\partial y'} + \dfrac{\partial E_z'}{\partial z'} = \dfrac{\rho'}{\varepsilon_0} \end{equation}

ρ\rho' 是包围电荷 oo 点的高斯球面 ssss 的体积非常小,无限接近于 oo 点】内电荷的密度,ε0\varepsilon_0 是真空介电常数。

我们需要注意的是,如果 oo 点在高斯球面 ss 外,ss 没有包围 oo 点,其散度一直是零。

导出运动电场 E 的高斯定理

段落标题 导出运动电场 E 的高斯定理

设想电荷 oo 点静止在 ss' 系里,带有的电荷 qq 虽然是一个不变量,但是电荷 qqss 系中是以匀速度 v\vec{v} 沿 xx 轴正方向直线运动,按照相对论的运动导致空间收缩,其体积要收缩到 1γ\dfrac{1}{\gamma} 为相对论因子】倍, 相应的 qq 的电荷密度要增大到 γ\gamma 倍。

所以,qqss 系中密度 ρ\rho 要比 ss' 系中密度 ρ\rho 增大一个相对论因子 γ\gamma

ρ=γ ρ\begin{equation}\nonumber \rho = \gamma\ \rho' \end{equation}

电荷 qqss 系中是以匀速度 v\vec{v} 【标量为 vv 】沿 xx 轴正方向在直线运动,所以有电流密度:

J=ρ v i=γ ρ v i\vec{J} = \rho\ v\ \vec{i} = \gamma\ \rho'\ v\ \vec{i}

i\vec{i} 是沿 xx 轴的单位矢量。

由洛伦兹正变换的 x=γ (xv t)x' = \gamma\ (x - v\ t) 得到 xx=γ\dfrac{\partial x'}{\partial x} = \gamma ,再由电场的相对论变换 Ex=ExE_x = E_x' , Ey=γ EyE_y = \gamma\ E_y' ,  Ez=γ Ez\ E_z = \gamma\ E_z' ,,,以及静电场 E\overrightarrow{E'} 的散度:

E=Exx+Eyy+Ezz=ρε0\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E'} = \dfrac{\partial E_x'}{\partial x'} + \dfrac{\partial E_y'}{\partial y'} + \dfrac{\partial E_z'}{\partial z'} = \dfrac{\rho'}{\varepsilon_0} \end{equation}

可以得出运动电场 E\overrightarrow{E} 的高斯定理:

E=Exx+Eyy+Ezz=γ (Exx+Eyy+Ezz)=γ ρε0=ρε0\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E} &= \dfrac{\partial E_x}{\partial x} + \dfrac{\partial E_y}{\partial y} + \dfrac{\partial E_z}{\partial z} \\ &= \gamma\ (\dfrac{\partial E_x'}{\partial x'} + \dfrac{\partial E_y'}{\partial y'} + \dfrac{\partial E_z'}{\partial z'}) \\ &= \gamma\ \dfrac{\rho'}{\varepsilon_0} \\ &= \dfrac{\rho}{\varepsilon_0} \end{aligned} \end{equation}

导出磁场的高斯定理

段落标题 导出磁场的高斯定理

利用相对论洛伦兹变换得到的微分算符 y=y\dfrac{\partial}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y'}z=z\dfrac{\partial}{\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial z'}

由前面的空间点 pp 处磁场 B\vec{B} 和电场 E\vec{E} 满足的关系:

Bx=0By=vc2 EzBz= vc2 Ey\begin{align} B_x &= 0 \nonumber \\ B_y &= \dfrac{v}{c^2}\ E_z \nonumber \\ B_z &= -\ \dfrac{v}{c^2}\ E_y \nonumber \end{align}

由于我们把考察点定在空间 pp 点上,而不是电荷 oo 点上,所以上式是左手螺旋关系。再加静电场 E\overrightarrow{E'} 的旋度的第一式

EzyEyz=0\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial E_z'}{\partial y'} - \dfrac{\partial E_y'}{\partial z'} = 0 \end{equation}

再加电场的相对论变换公式

γ Ez=Ezγ Ey=Ey\begin{align} \gamma\ E_z' &= E_z \nonumber \\ \gamma\ E_y' &= E_y \nonumber \end{align}

可以导出磁场的高斯定理:

B=Bxx+Byy+Bzz=0+(vc2 Ez)y(vc2 Ey)z=0+(vc2 γ Ez)y(vc2 γ Ey)z=vc2 γ (EzyEyz)=0\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{B} &= \dfrac{\partial B_x}{\partial x} + \dfrac{\partial B_y}{\partial y} + \dfrac{\partial B_z}{\partial z} \\ &= 0 + \dfrac{\partial (\dfrac{v}{c^2}\ E_z)}{\partial y} - \dfrac{\partial (\dfrac{v}{c^2}\ E_y)}{\partial z} \\ &= 0 + \dfrac{\partial (\dfrac{v}{c^2}\ \gamma\ E_z')}{\partial y'} - \dfrac{\partial (\dfrac{v}{c^2}\ \gamma\ E_y')}{\partial z'} \\ &= \dfrac{v}{c^2}\ \gamma\ (\dfrac{\partial E_z'}{\partial y'} - \dfrac{\partial E_y'}{\partial z'}) \\ &= 0 \end{aligned} \end{equation}

导出法拉第电磁感应定理

段落标题 导出法拉第电磁感应定理

由静电场 E\overrightarrow{E'} 的旋度第一式

EzyEyz=0\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial E_z'}{\partial y'} - \dfrac{\partial E_y'}{\partial z'} = 0 \end{equation}

由电场的相对论变换 Ez=1γ EzE_z' = \dfrac{1}{\gamma}\ E_zEy=1γ EyE_y' = \dfrac{1}{\gamma}\ E_yy=y\partial y' = \partial yz=z\partial z' = \partial z ,导出:

1γ Ezy1γ Eyz=1γ (EzyEyz)=0\begin{equation}\nonumber \dfrac{1}{\gamma}\ \dfrac{\partial E_z}{\partial y} - \dfrac{1}{\gamma}\ \dfrac{\partial E_y}{\partial z} = \dfrac{1}{\gamma}\ (\dfrac{\partial E_z}{\partial y} - \dfrac{\partial E_y}{\partial z}) = 0 \end{equation}

所以,

EzyEyz=0\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial E_z}{\partial y} - \dfrac{\partial E_y}{\partial z} = 0 \end{equation}

由静电场 E\overrightarrow{E'} 的旋度第二式

ExzEzx=0\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial E_x'}{\partial z'} - \dfrac{\partial E_z'}{\partial x'} = 0 \end{equation}

由电场的相对论变换 Ex=ExE_x' = E_xEz=1γ EzE_z' = \dfrac{1}{\gamma}\ E_zz=z\partial z' = \partial z ,由洛伦兹正变换 x=γ (xv t)x' = \gamma\ (x - v\ t) 求偏微分得到的 1x=1γ 1x\dfrac{1}{\partial x'} = \dfrac{1}{\gamma}\ \dfrac{1}{\partial x} ,导出:

Exz1γ2 Ezx=0Exz(1v2c2) Ezx=0ExzEzx=v2c2 Ezx\begin{align} &\dfrac{\partial E_x}{\partial z} - \dfrac{1}{\gamma^2}\ \dfrac{\partial E_z}{\partial x} = 0 \nonumber \\ &\dfrac{\partial E_x}{\partial z} - (1 - \dfrac{v^2}{c^2})\ \dfrac{\partial E_z}{\partial x} = 0 \nonumber \\ &\dfrac{\partial E_x}{\partial z} - \dfrac{\partial E_z}{\partial x} = - \dfrac{v^2}{c^2}\ \dfrac{\partial E_z}{\partial x} \nonumber \end{align}

由速度定义 v=dxdtv = \dfrac{dx}{dt} 导出

v x=t\begin{equation}\nonumber v\ \dfrac{\partial}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial t} \end{equation}

所以:

ExzEzx=vc2 Ezt\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial E_x}{\partial z} - \dfrac{\partial E_z}{\partial x} = - \dfrac{v}{c^2}\ \dfrac{\partial E_z}{\partial t} \end{equation}

由空间点 pp 处的磁场 B\vec{B} 和电场 E\vec{E} 满足的关系式

By=vc2 Ez\begin{equation}\nonumber B_y = \dfrac{v}{c^2}\ E_z \end{equation}

得到:

ExzEzx= Byt\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial E_x}{\partial z} - \dfrac{\partial E_z}{\partial x} = -\ \dfrac{\partial B_y}{\partial t} \end{equation}

由静电场 E\overrightarrow{E'} 的旋度第三式

EyxExy=0\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial E_y'}{\partial x'} - \dfrac{\partial E_x'}{\partial y'} = 0 \end{equation}

由电场的相对论变换 Ex=ExE_x' = E_xEy=1γ EyE_y' = \dfrac{1}{\gamma}\ E_y ,再由以上的洛伦兹正变换的微分算符 得到的 1x=1γ 1x\dfrac{1}{\partial x'} = \dfrac{1}{\gamma}\ \dfrac{1}{\partial x}y=y\partial y' = \partial y

得到:

1γ2 EyxExy=0(1v2c2) EyxExy=0EyxExy=v2c2 Eyx\begin{align} \dfrac{1}{\gamma^2}\ \dfrac{\partial E_y}{\partial x} - \dfrac{\partial E_x}{\partial y} = 0 \nonumber \\ (1 - \dfrac{v^2}{c^2})\ \dfrac{\partial E_y}{\partial x} - \dfrac{\partial E_x}{\partial y} = 0 \nonumber \\ \dfrac{\partial E_y}{\partial x} - \dfrac{\partial E_x}{\partial y} = \dfrac{v^2}{c^2}\ \dfrac{\partial E_y}{\partial x} \nonumber \end{align}

由速度定义得到的

v x=t\begin{equation}\nonumber v\ \dfrac{\partial}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial t} \end{equation}

得到:

EyxExy=vc2 Eyt\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial E_y}{\partial x} - \dfrac{\partial E_x}{\partial y} = \dfrac{v}{c^2}\ \dfrac{\partial E_y}{\partial t} \end{equation}

由空间点 pp 处的电场 E\vec{E} 和磁场 B\vec{B} 满足的关系

Bz= vc2 EyB_z = -\ \dfrac{v}{c^2}\ E_y

中,得到:

EyxExy= Bzt\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial E_y}{\partial x} - \dfrac{\partial E_x}{\partial y} = -\ \dfrac{\partial B_z}{\partial t} \end{equation}

由以上的推导加托克斯定理得出法拉第电磁感应方程:

×E=(EzyEyz) i+(ExzEzx) j+(EyxExy) k=0 iByt jBzt k= BxtiBytjBztk= Bt\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{E} &= (\dfrac{\partial E_z}{\partial y} - \dfrac{\partial E_y}{\partial z})\ \vec{i} + (\dfrac{\partial E_x}{\partial z} - \dfrac{\partial E_z}{\partial x})\ \vec{j} + (\dfrac{\partial E_y}{\partial x} - \dfrac{\partial E_x}{\partial y})\ \vec{k} \\ &= 0\ \vec{i} - \dfrac{\partial B_y}{\partial t}\ \vec{j} - \dfrac{\partial B_z}{\partial t}\ \vec{k} \\ &= -\ \dfrac{\partial B_x}{\partial t} \vec{i} - \dfrac{\partial B_y}{\partial t} \vec{j} - \dfrac{\partial B_z}{\partial t} \vec{k} \\ &= -\ \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \end{aligned} \end{equation}

导出电流和变化电场产生磁场

段落标题 导出电流和变化电场产生磁场

由空间点 pp 处的电场 E\vec{E} 和磁场 B\vec{B} 满足的关系式

By=vc2 EzBz= vc2 Ey\begin{align} B_y &= \dfrac{v}{c^2}\ E_z \nonumber \\ B_z &= -\ \dfrac{v}{c^2}\ E_y \nonumber \end{align}

可以得出:

BzyByz= (vc2 Ey)y(vc2 Ez)z= vc2 (Eyy+Ezz)= μ0 ε0 v (ρε0Exx)\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \dfrac{\partial B_z}{\partial y} - \dfrac{\partial B_y}{\partial z} &= -\ \dfrac{\partial (\dfrac{v}{c^2}\ E_y)}{\partial y} - \dfrac{\partial (\dfrac{v}{c^2}\ E_z)}{\partial z} \\ &= -\ \dfrac{v}{c^2}\ (\dfrac{\partial E_y}{\partial y} + \dfrac{\partial E_z}{\partial z}) \\ &= -\ \mu_0\ \varepsilon_0\ v\ (\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} - \dfrac{\partial E_x}{\partial x}) \end{aligned} \end{equation}

注意,μ0 ε0=1c2\mu_0\ \varepsilon_0 = \dfrac{1}{c^2}ρ\rho 是电荷 oo 点在 ss 系里电荷体密度,这里用到了运动电场 E\vec{E} 的高斯定理

E=Exx+Eyy+Ezz=ρε0\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E} = \dfrac{\partial E_x}{\partial x} + \dfrac{\partial E_y}{\partial y} + \dfrac{\partial E_z}{\partial z} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0} \end{equation}

所以,

 μ0 ε0 v (ρε0Exx)= μ0 v ρ+μ0 ε0 v Exx-\ \mu_0\ \varepsilon_0\ v\ (\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} - \dfrac{\partial E_x}{\partial x}) = -\ \mu_0\ v\ \rho + \mu_0\ \varepsilon_0\ v\ \dfrac{\partial E_x}{\partial x}

以上是从空间点 pp 处考察得出的,由于电荷 oo 点的运动速度 vvpp 点运动速度 v- v 正好相反。

μ0 v ρ\mu_0\ v\ \rho 是电流,上式如果表示的是电流和变化磁场产生磁场,则负号就要去掉。再由速度定义得到的

vx=1t\begin{equation}\nonumber \dfrac{v}{\partial x} = \dfrac{1}{\partial t} \end{equation}

所以,上式的矢量式可以写为:

μ0 J+μ0 ε0 Exti\begin{equation}\nonumber \mu_0\ \vec{J} + \mu_0\ \varepsilon_0\ \dfrac{\partial E_x}{\partial t} \vec{i} \end{equation}

i\vec{i} 沿 xx 轴的单位矢量,J\vec{J} 是电流。

点击展开修正:这里的 J\vec{J} 应该是指电流密度。

Bx=0B_x = 0Bz= vc2 EyB_z = -\ \dfrac{v}{c^2}\ E_yvx=1t\dfrac{v}{\partial x} = \dfrac{1}{\partial t} ,所以:

BxzBzx=Bzx=vc2 Eyx=1c2 Eyt=μ0 ε0 Eyt\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \dfrac{\partial B_x}{\partial z} - \dfrac{\partial B_z}{\partial x} &= - \dfrac{\partial B_z}{\partial x} \\ &= \dfrac{v}{c^2}\ \dfrac{\partial E_y}{\partial x} \\ &= \dfrac{1}{c^2}\ \dfrac{\partial E_y}{\partial t} \\ &= \mu_0\ \varepsilon_0\ \dfrac{\partial E_y}{\partial t} \end{aligned} \end{equation}

Bx=0B_x = 0By=vc2 EzB_y = \dfrac{v}{c^2}\ E_zvx=1t\dfrac{v}{\partial x} = \dfrac{1}{\partial t} ,所以:

ByxBxy=Byx=vc2 Ezx=1c2 Ezt=μ0 ε0 Ezt\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \dfrac{\partial B_y}{\partial x} - \dfrac{\partial B_x}{\partial y} &= \dfrac{\partial B_y}{\partial x} \\ &= \dfrac{v}{c^2}\ \dfrac{\partial E_z}{\partial x} \\ &= \dfrac{1}{c^2}\ \dfrac{\partial E_z}{\partial t} \\ &= \mu_0\ \varepsilon_0\ \dfrac{\partial E_z}{\partial t} \end{aligned} \end{equation}

由以上推理加斯托克斯定理,我们得到了麦克斯韦方程中的电流和运动电荷产生磁场:

×B=(BzyByz) i+(BxzBzx) j+(ByxBxy) k=(μ0 J+μ0 ε0 Ext) i+(μ0 ε0 Eyt) j+(μ0 ε0 Ezt) k=μ0 J+μ0 ε0 Et\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{B} &= (\dfrac{\partial B_z}{\partial y} - \dfrac{\partial B_y}{\partial z})\ \vec{i} + (\dfrac{\partial B_x}{\partial z} - \dfrac{\partial B_z}{\partial x})\ \vec{j} + (\dfrac{\partial B_y}{\partial x} - \dfrac{\partial B_x}{\partial y})\ \vec{k} \\ &= (\mu_0\ J + \mu_0\ \varepsilon_0\ \dfrac{\partial E_x}{\partial t})\ \vec{i} + (\mu_0\ \varepsilon_0\ \dfrac{\partial E_y}{\partial t})\ \vec{j} + (\mu_0\ \varepsilon_0\ \dfrac{\partial E_z}{\partial t})\ \vec{k} \\ &= \mu_0\ \vec{J} + \mu_0\ \varepsilon_0\ \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned} \end{equation}
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