麦克斯韦方程组4个方程可以描述出电磁现象所有的规律,但它不是最基本的。
利用电场、磁场的定义方程、场论中的高斯定理、斯托克斯定理,相对论中的洛伦兹变换,可以推导出麦克斯韦4个方程。
对于静止电荷 o 点,带有电荷 q ,在周围产生的的静电场 E′ ,对电场定义方程
E′=f Ω21 dtdΩ r3r
点击展开注解:关于上式中的 f
直接求旋度,注意,式中右边仅 r3r 是变量,得:
∇×E′=0
上式可以分解为以下三个分式:
∂y′∂Ez′−∂z′∂Ey′∂z′∂Ex′−∂x′∂Ez′∂x′∂Ey′−∂y′∂Ex′=0=0=0
对静电场定义方程
E′=f Ω21 dtdΩ r3r
直接求散度,注意式中右边仅 r3r 是变量,得:
∇⋅E′=0
上式中的 r 是包围 o 点的高斯球面 s 的半径,在 r 趋近于零【也可以说高斯球面上的考察点——空间点 p 无限趋近于电荷 o 点】,且 o 点可以看成一个无限小的带电球体的情况下,式子出现了 0/0 的情况,利用狄拉克 δ 函数,可以得到:
∇⋅E′=∂x′∂Ex′+∂y′∂Ey′+∂z′∂Ez′=ε0ρ′
ρ′ 是包围电荷 o 点的高斯球面 s 【 s 的体积非常小,无限接近于 o 点】内电荷的密度,ε0 是真空介电常数。
我们需要注意的是,如果 o 点在高斯球面 s 外,s 没有包围 o 点,其散度一直是零。
设想电荷 o 点静止在 s′ 系里,带有的电荷 q 虽然是一个不变量,但是电荷 q 在 s 系中是以匀速度 v 沿 x 轴正方向直线运动,按照相对论的运动导致空间收缩,其体积要收缩到 γ1 为相对论因子】倍, 相应的 q 的电荷密度要增大到 γ 倍。
所以,q 在 s 系中密度 ρ 要比 s′ 系中密度 ρ 增大一个相对论因子 γ
ρ=γ ρ′
电荷 q 在 s 系中是以匀速度 v 【标量为 v 】沿 x 轴正方向在直线运动,所以有电流密度:
J=ρ v i=γ ρ′ v i
i 是沿 x 轴的单位矢量。
由洛伦兹正变换的 x′=γ (x−v t) 得到 ∂x∂x′=γ ,再由电场的相对论变换 Ex=Ex′ , Ey=γ Ey′ , Ez=γ Ez′ ,,,以及静电场 E′ 的散度:
∇⋅E′=∂x′∂Ex′+∂y′∂Ey′+∂z′∂Ez′=ε0ρ′
可以得出运动电场 E 的高斯定理:
∇⋅E=∂x∂Ex+∂y∂Ey+∂z∂Ez=γ (∂x′∂Ex′+∂y′∂Ey′+∂z′∂Ez′)=γ ε0ρ′=ε0ρ
利用相对论洛伦兹变换得到的微分算符 ∂y∂=∂y′∂ ,∂z∂=∂z′∂ ,
由前面的空间点 p 处磁场 B 和电场 E 满足的关系:
BxByBz=0=c2v Ez=− c2v Ey
由于我们把考察点定在空间 p 点上,而不是电荷 o 点上,所以上式是左手螺旋关系。再加静电场 E′ 的旋度的第一式
∂y′∂Ez′−∂z′∂Ey′=0
再加电场的相对论变换公式
γ Ez′γ Ey′=Ez=Ey
可以导出磁场的高斯定理:
∇⋅B=∂x∂Bx+∂y∂By+∂z∂Bz=0+∂y∂(c2v Ez)−∂z∂(c2v Ey)=0+∂y′∂(c2v γ Ez′)−∂z′∂(c2v γ Ey′)=c2v γ (∂y′∂Ez′−∂z′∂Ey′)=0
由静电场 E′ 的旋度第一式
∂y′∂Ez′−∂z′∂Ey′=0
由电场的相对论变换 Ez′=γ1 Ez ,Ey′=γ1 Ey ,∂y′=∂y ,∂z′=∂z ,导出:
γ1 ∂y∂Ez−γ1 ∂z∂Ey=γ1 (∂y∂Ez−∂z∂Ey)=0
所以,
∂y∂Ez−∂z∂Ey=0
由静电场 E′ 的旋度第二式
∂z′∂Ex′−∂x′∂Ez′=0
由电场的相对论变换 Ex′=Ex ,Ez′=γ1 Ez ,∂z′=∂z ,由洛伦兹正变换 x′=γ (x−v t) 求偏微分得到的 ∂x′1=γ1 ∂x1 ,导出:
∂z∂Ex−γ21 ∂x∂Ez=0∂z∂Ex−(1−c2v2) ∂x∂Ez=0∂z∂Ex−∂x∂Ez=−c2v2 ∂x∂Ez
由速度定义 v=dtdx 导出
v ∂x∂=∂t∂
所以:
∂z∂Ex−∂x∂Ez=−c2v ∂t∂Ez
由空间点 p 处的磁场 B 和电场 E 满足的关系式
By=c2v Ez
得到:
∂z∂Ex−∂x∂Ez=− ∂t∂By
由静电场 E′ 的旋度第三式
∂x′∂Ey′−∂y′∂Ex′=0
由电场的相对论变换 Ex′=Ex ,Ey′=γ1 Ey ,再由以上的洛伦兹正变换的微分算符 得到的 ∂x′1=γ1 ∂x1 ,∂y′=∂y ,
得到:
γ21 ∂x∂Ey−∂y∂Ex=0(1−c2v2) ∂x∂Ey−∂y∂Ex=0∂x∂Ey−∂y∂Ex=c2v2 ∂x∂Ey
由速度定义得到的
v ∂x∂=∂t∂
得到:
∂x∂Ey−∂y∂Ex=c2v ∂t∂Ey
由空间点 p 处的电场 E 和磁场 B 满足的关系
Bz=− c2v Ey
中,得到:
∂x∂Ey−∂y∂Ex=− ∂t∂Bz
由以上的推导加托克斯定理得出法拉第电磁感应方程:
∇×E=(∂y∂Ez−∂z∂Ey) i+(∂z∂Ex−∂x∂Ez) j+(∂x∂Ey−∂y∂Ex) k=0 i−∂t∂By j−∂t∂Bz k=− ∂t∂Bxi−∂t∂Byj−∂t∂Bzk=− ∂t∂B
由空间点 p 处的电场 E 和磁场 B 满足的关系式
ByBz=c2v Ez=− c2v Ey
可以得出:
∂y∂Bz−∂z∂By=− ∂y∂(c2v Ey)−∂z∂(c2v Ez)=− c2v (∂y∂Ey+∂z∂Ez)=− μ0 ε0 v (ε0ρ−∂x∂Ex)
注意,μ0 ε0=c21 ,ρ 是电荷 o 点在 s 系里电荷体密度,这里用到了运动电场 E 的高斯定理
∇⋅E=∂x∂Ex+∂y∂Ey+∂z∂Ez=ε0ρ
所以,
− μ0 ε0 v (ε0ρ−∂x∂Ex)=− μ0 v ρ+μ0 ε0 v ∂x∂Ex
以上是从空间点 p 处考察得出的,由于电荷 o 点的运动速度 v 和 p 点运动速度 −v 正好相反。
μ0 v ρ 是电流,上式如果表示的是电流和变化磁场产生磁场,则负号就要去掉。再由速度定义得到的
∂xv=∂t1
所以,上式的矢量式可以写为:
μ0 J+μ0 ε0 ∂t∂Exi
i 沿 x 轴的单位矢量,J 是电流。
点击展开修正:这里的 J 应该是指电流密度。
由 Bx=0 ,Bz=− c2v Ey ,∂xv=∂t1 ,所以:
∂z∂Bx−∂x∂Bz=−∂x∂Bz=c2v ∂x∂Ey=c21 ∂t∂Ey=μ0 ε0 ∂t∂Ey
由 Bx=0 ,By=c2v Ez ,∂xv=∂t1 ,所以:
∂x∂By−∂y∂Bx=∂x∂By=c2v ∂x∂Ez=c21 ∂t∂Ez=μ0 ε0 ∂t∂Ez
由以上推理加斯托克斯定理,我们得到了麦克斯韦方程中的电流和运动电荷产生磁场:
∇×B=(∂y∂Bz−∂z∂By) i+(∂z∂Bx−∂x∂Bz) j+(∂x∂By−∂y∂Bx) k=(μ0 J+μ0 ε0 ∂t∂Ex) i+(μ0 ε0 ∂t∂Ey) j+(μ0 ε0 ∂t∂Ez) k=μ0 J+μ0 ε0 ∂t∂E Learn