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Unified Field Theory

三十四、推导麦克斯韦方程

麦克斯韦方程组4个方程可以描述出电磁现象所有的规律，但它不是最基本的。

利用电场、磁场的定义方程、场论中的高斯定理、斯托克斯定理，相对论中的洛伦兹变换，可以推导出麦克斯韦4个方程。

导出静电场 E’ 的旋度

Section titled 导出静电场 E’ 的旋度

对于静止电荷 oo 点，带有电荷 qq ，在周围产生的的静电场 E′→\overrightarrow{E'} ，对电场定义方程

E′→=f 1Ω2 dΩdt r⃗r3\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{E'} = f\ \dfrac{1}{\Omega^2}\ \dfrac{d\Omega}{dt}\ \dfrac{\vec{r}}{r^3} \end{equation}
点击展开注解：关于上式中的 ff

直接求旋度，注意，式中右边仅 r⃗r3\dfrac{\vec{r}}{r^3} 是变量，得：

∇→×E′→=0⃗\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{E'} = \vec{0} \end{equation}

上式可以分解为以下三个分式：

∂Ez′∂y′−∂Ey′∂z′=0∂Ex′∂z′−∂Ez′∂x′=0∂Ey′∂x′−∂Ex′∂y′=0\begin{align} \dfrac{\partial E_z'}{\partial y'} - \dfrac{\partial E_y'}{\partial z'} &= 0 \nonumber \\ \dfrac{\partial E_x'}{\partial z'} - \dfrac{\partial E_z'}{\partial x'} &= 0 \nonumber \\ \dfrac{\partial E_y'}{\partial x'} - \dfrac{\partial E_x'}{\partial y'} &= 0 \nonumber \end{align}

导出静电场 E’ 的散度

Section titled 导出静电场 E’ 的散度

对静电场定义方程

E′→=f 1Ω2 dΩdt r⃗r3\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{E'} = f\ \dfrac{1}{\Omega^2}\ \dfrac{d\Omega}{dt}\ \dfrac{\vec{r}}{r^3} \end{equation}

直接求散度，注意式中右边仅 r⃗r3\dfrac{\vec{r}}{r^3} 是变量，得：

∇→⋅E′→=0\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E'} = 0 \end{equation}

上式中的 rr 是包围 oo 点的高斯球面 ss 的半径，在 rr 趋近于零【也可以说高斯球面上的考察点——空间点 pp 无限趋近于电荷 oo 点】，且 oo 点可以看成一个无限小的带电球体的情况下，式子出现了 0/00/0 的情况，利用狄拉克 δ\delta 函数，可以得到：

∇→⋅E′→=∂Ex′∂x′+∂Ey′∂y′+∂Ez′∂z′=ρ′ε0\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E'} = \dfrac{\partial E_x'}{\partial x'} + \dfrac{\partial E_y'}{\partial y'} + \dfrac{\partial E_z'}{\partial z'} = \dfrac{\rho'}{\varepsilon_0} \end{equation}

ρ′\rho' 是包围电荷 oo 点的高斯球面 ss 【 ss 的体积非常小，无限接近于 oo 点】内电荷的密度，ε0\varepsilon_0 是真空介电常数。

我们需要注意的是，如果 oo 点在高斯球面 ss 外，ss 没有包围 oo 点，其散度一直是零。

导出运动电场 E 的高斯定理

Section titled 导出运动电场 E 的高斯定理

设想电荷 oo 点静止在 s′s' 系里，带有的电荷 qq 虽然是一个不变量，但是电荷 qq 在 ss 系中是以匀速度 v⃗\vec{v} 沿 xx 轴正方向直线运动，按照相对论的运动导致空间收缩，其体积要收缩到 1γ\dfrac{1}{\gamma} 为相对论因子】倍， 相应的 qq 的电荷密度要增大到 γ\gamma 倍。

所以，qq 在 ss 系中密度 ρ\rho 要比 s′s' 系中密度 ρ\rho 增大一个相对论因子 γ\gamma

ρ=γ ρ′\begin{equation}\nonumber \rho = \gamma\ \rho' \end{equation}

电荷 qq 在 ss 系中是以匀速度 v⃗\vec{v} 【标量为 vv 】沿 xx 轴正方向在直线运动，所以有电流密度：

J⃗=ρ v i⃗=γ ρ′ v i⃗\vec{J} = \rho\ v\ \vec{i} = \gamma\ \rho'\ v\ \vec{i}

i⃗\vec{i} 是沿 xx 轴的单位矢量。

由洛伦兹正变换的 x′=γ (x−v t)x' = \gamma\ (x - v\ t) 得到 ∂x′∂x=γ\dfrac{\partial x'}{\partial x} = \gamma ，再由电场的相对论变换 Ex=Ex′E_x = E_x' , Ey=γ Ey′E_y = \gamma\ E_y' ,  Ez=γ Ez′\ E_z = \gamma\ E_z' ，，，以及静电场 E′→\overrightarrow{E'} 的散度：

∇→⋅E′→=∂Ex′∂x′+∂Ey′∂y′+∂Ez′∂z′=ρ′ε0\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E'} = \dfrac{\partial E_x'}{\partial x'} + \dfrac{\partial E_y'}{\partial y'} + \dfrac{\partial E_z'}{\partial z'} = \dfrac{\rho'}{\varepsilon_0} \end{equation}

可以得出运动电场 E→\overrightarrow{E} 的高斯定理：

∇→⋅E→=∂Ex∂x+∂Ey∂y+∂Ez∂z=γ (∂Ex′∂x′+∂Ey′∂y′+∂Ez′∂z′)=γ ρ′ε0=ρε0\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E} &= \dfrac{\partial E_x}{\partial x} + \dfrac{\partial E_y}{\partial y} + \dfrac{\partial E_z}{\partial z} \\ &= \gamma\ (\dfrac{\partial E_x'}{\partial x'} + \dfrac{\partial E_y'}{\partial y'} + \dfrac{\partial E_z'}{\partial z'}) \\ &= \gamma\ \dfrac{\rho'}{\varepsilon_0} \\ &= \dfrac{\rho}{\varepsilon_0} \end{aligned} \end{equation}

导出磁场的高斯定理

Section titled 导出磁场的高斯定理

利用相对论洛伦兹变换得到的微分算符 ∂∂y=∂∂y′\dfrac{\partial}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y'} ，∂∂z=∂∂z′\dfrac{\partial}{\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial z'} ，

由前面的空间点 pp 处磁场 B⃗\vec{B} 和电场 E⃗\vec{E} 满足的关系：

Bx=0By=vc2 EzBz=− vc2 Ey\begin{align} B_x &= 0 \nonumber \\ B_y &= \dfrac{v}{c^2}\ E_z \nonumber \\ B_z &= -\ \dfrac{v}{c^2}\ E_y \nonumber \end{align}

由于我们把考察点定在空间 pp 点上，而不是电荷 oo 点上，所以上式是左手螺旋关系。再加静电场 E′→\overrightarrow{E'} 的旋度的第一式

∂Ez′∂y′−∂Ey′∂z′=0\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial E_z'}{\partial y'} - \dfrac{\partial E_y'}{\partial z'} = 0 \end{equation}

再加电场的相对论变换公式

γ Ez′=Ezγ Ey′=Ey\begin{align} \gamma\ E_z' &= E_z \nonumber \\ \gamma\ E_y' &= E_y \nonumber \end{align}

可以导出磁场的高斯定理：

∇→⋅B→=∂Bx∂x+∂By∂y+∂Bz∂z=0+∂(vc2 Ez)∂y−∂(vc2 Ey)∂z=0+∂(vc2 γ Ez′)∂y′−∂(vc2 γ Ey′)∂z′=vc2 γ (∂Ez′∂y′−∂Ey′∂z′)=0\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{B} &= \dfrac{\partial B_x}{\partial x} + \dfrac{\partial B_y}{\partial y} + \dfrac{\partial B_z}{\partial z} \\ &= 0 + \dfrac{\partial (\dfrac{v}{c^2}\ E_z)}{\partial y} - \dfrac{\partial (\dfrac{v}{c^2}\ E_y)}{\partial z} \\ &= 0 + \dfrac{\partial (\dfrac{v}{c^2}\ \gamma\ E_z')}{\partial y'} - \dfrac{\partial (\dfrac{v}{c^2}\ \gamma\ E_y')}{\partial z'} \\ &= \dfrac{v}{c^2}\ \gamma\ (\dfrac{\partial E_z'}{\partial y'} - \dfrac{\partial E_y'}{\partial z'}) \\ &= 0 \end{aligned} \end{equation}

导出法拉第电磁感应定理

Section titled 导出法拉第电磁感应定理

由静电场 E′→\overrightarrow{E'} 的旋度第一式

∂Ez′∂y′−∂Ey′∂z′=0\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial E_z'}{\partial y'} - \dfrac{\partial E_y'}{\partial z'} = 0 \end{equation}

由电场的相对论变换 Ez′=1γ EzE_z' = \dfrac{1}{\gamma}\ E_z ，Ey′=1γ EyE_y' = \dfrac{1}{\gamma}\ E_y ，∂y′=∂y\partial y' = \partial y ，∂z′=∂z\partial z' = \partial z ，导出：

1γ ∂Ez∂y−1γ ∂Ey∂z=1γ (∂Ez∂y−∂Ey∂z)=0\begin{equation}\nonumber \dfrac{1}{\gamma}\ \dfrac{\partial E_z}{\partial y} - \dfrac{1}{\gamma}\ \dfrac{\partial E_y}{\partial z} = \dfrac{1}{\gamma}\ (\dfrac{\partial E_z}{\partial y} - \dfrac{\partial E_y}{\partial z}) = 0 \end{equation}

所以，

∂Ez∂y−∂Ey∂z=0\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial E_z}{\partial y} - \dfrac{\partial E_y}{\partial z} = 0 \end{equation}

由静电场 E′→\overrightarrow{E'} 的旋度第二式

∂Ex′∂z′−∂Ez′∂x′=0\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial E_x'}{\partial z'} - \dfrac{\partial E_z'}{\partial x'} = 0 \end{equation}

由电场的相对论变换 Ex′=ExE_x' = E_x ，Ez′=1γ EzE_z' = \dfrac{1}{\gamma}\ E_z ，∂z′=∂z\partial z' = \partial z ，由洛伦兹正变换 x′=γ (x−v t)x' = \gamma\ (x - v\ t) 求偏微分得到的 1∂x′=1γ 1∂x\dfrac{1}{\partial x'} = \dfrac{1}{\gamma}\ \dfrac{1}{\partial x} ，导出：

∂Ex∂z−1γ2 ∂Ez∂x=0∂Ex∂z−(1−v2c2) ∂Ez∂x=0∂Ex∂z−∂Ez∂x=−v2c2 ∂Ez∂x\begin{align} &\dfrac{\partial E_x}{\partial z} - \dfrac{1}{\gamma^2}\ \dfrac{\partial E_z}{\partial x} = 0 \nonumber \\ &\dfrac{\partial E_x}{\partial z} - (1 - \dfrac{v^2}{c^2})\ \dfrac{\partial E_z}{\partial x} = 0 \nonumber \\ &\dfrac{\partial E_x}{\partial z} - \dfrac{\partial E_z}{\partial x} = - \dfrac{v^2}{c^2}\ \dfrac{\partial E_z}{\partial x} \nonumber \end{align}

由速度定义 v=dxdtv = \dfrac{dx}{dt} 导出

v ∂∂x=∂∂t\begin{equation}\nonumber v\ \dfrac{\partial}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial t} \end{equation}

所以：

∂Ex∂z−∂Ez∂x=−vc2 ∂Ez∂t\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial E_x}{\partial z} - \dfrac{\partial E_z}{\partial x} = - \dfrac{v}{c^2}\ \dfrac{\partial E_z}{\partial t} \end{equation}

由空间点 pp 处的磁场 B⃗\vec{B} 和电场 E⃗\vec{E} 满足的关系式

By=vc2 Ez\begin{equation}\nonumber B_y = \dfrac{v}{c^2}\ E_z \end{equation}

得到：

∂Ex∂z−∂Ez∂x=− ∂By∂t\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial E_x}{\partial z} - \dfrac{\partial E_z}{\partial x} = -\ \dfrac{\partial B_y}{\partial t} \end{equation}

由静电场 E′→\overrightarrow{E'} 的旋度第三式

∂Ey′∂x′−∂Ex′∂y′=0\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial E_y'}{\partial x'} - \dfrac{\partial E_x'}{\partial y'} = 0 \end{equation}

由电场的相对论变换 Ex′=ExE_x' = E_x ，Ey′=1γ EyE_y' = \dfrac{1}{\gamma}\ E_y ，再由以上的洛伦兹正变换的微分算符 得到的 1∂x′=1γ 1∂x\dfrac{1}{\partial x'} = \dfrac{1}{\gamma}\ \dfrac{1}{\partial x} ，∂y′=∂y\partial y' = \partial y ，

得到：

1γ2 ∂Ey∂x−∂Ex∂y=0(1−v2c2) ∂Ey∂x−∂Ex∂y=0∂Ey∂x−∂Ex∂y=v2c2 ∂Ey∂x\begin{align} \dfrac{1}{\gamma^2}\ \dfrac{\partial E_y}{\partial x} - \dfrac{\partial E_x}{\partial y} = 0 \nonumber \\ (1 - \dfrac{v^2}{c^2})\ \dfrac{\partial E_y}{\partial x} - \dfrac{\partial E_x}{\partial y} = 0 \nonumber \\ \dfrac{\partial E_y}{\partial x} - \dfrac{\partial E_x}{\partial y} = \dfrac{v^2}{c^2}\ \dfrac{\partial E_y}{\partial x} \nonumber \end{align}

由速度定义得到的

v ∂∂x=∂∂t\begin{equation}\nonumber v\ \dfrac{\partial}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial t} \end{equation}

得到：

∂Ey∂x−∂Ex∂y=vc2 ∂Ey∂t\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial E_y}{\partial x} - \dfrac{\partial E_x}{\partial y} = \dfrac{v}{c^2}\ \dfrac{\partial E_y}{\partial t} \end{equation}

由空间点 pp 处的电场 E⃗\vec{E} 和磁场 B⃗\vec{B} 满足的关系

Bz=− vc2 EyB_z = -\ \dfrac{v}{c^2}\ E_y

中，得到：

∂Ey∂x−∂Ex∂y=− ∂Bz∂t\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial E_y}{\partial x} - \dfrac{\partial E_x}{\partial y} = -\ \dfrac{\partial B_z}{\partial t} \end{equation}

由以上的推导加托克斯定理得出法拉第电磁感应方程：

∇→×E→=(∂Ez∂y−∂Ey∂z) i⃗+(∂Ex∂z−∂Ez∂x) j⃗+(∂Ey∂x−∂Ex∂y) k⃗=0 i⃗−∂By∂t j⃗−∂Bz∂t k⃗=− ∂Bx∂ti⃗−∂By∂tj⃗−∂Bz∂tk⃗=− ∂B⃗∂t\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{E} &= (\dfrac{\partial E_z}{\partial y} - \dfrac{\partial E_y}{\partial z})\ \vec{i} + (\dfrac{\partial E_x}{\partial z} - \dfrac{\partial E_z}{\partial x})\ \vec{j} + (\dfrac{\partial E_y}{\partial x} - \dfrac{\partial E_x}{\partial y})\ \vec{k} \\ &= 0\ \vec{i} - \dfrac{\partial B_y}{\partial t}\ \vec{j} - \dfrac{\partial B_z}{\partial t}\ \vec{k} \\ &= -\ \dfrac{\partial B_x}{\partial t} \vec{i} - \dfrac{\partial B_y}{\partial t} \vec{j} - \dfrac{\partial B_z}{\partial t} \vec{k} \\ &= -\ \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \end{aligned} \end{equation}

导出电流和变化电场产生磁场

Section titled 导出电流和变化电场产生磁场

由空间点 pp 处的电场 E⃗\vec{E} 和磁场 B⃗\vec{B} 满足的关系式

By=vc2 EzBz=− vc2 Ey\begin{align} B_y &= \dfrac{v}{c^2}\ E_z \nonumber \\ B_z &= -\ \dfrac{v}{c^2}\ E_y \nonumber \end{align}

可以得出：

∂Bz∂y−∂By∂z=− ∂(vc2 Ey)∂y−∂(vc2 Ez)∂z=− vc2 (∂Ey∂y+∂Ez∂z)=− μ0 ε0 v (ρε0−∂Ex∂x)\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \dfrac{\partial B_z}{\partial y} - \dfrac{\partial B_y}{\partial z} &= -\ \dfrac{\partial (\dfrac{v}{c^2}\ E_y)}{\partial y} - \dfrac{\partial (\dfrac{v}{c^2}\ E_z)}{\partial z} \\ &= -\ \dfrac{v}{c^2}\ (\dfrac{\partial E_y}{\partial y} + \dfrac{\partial E_z}{\partial z}) \\ &= -\ \mu_0\ \varepsilon_0\ v\ (\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} - \dfrac{\partial E_x}{\partial x}) \end{aligned} \end{equation}

注意，μ0 ε0=1c2\mu_0\ \varepsilon_0 = \dfrac{1}{c^2} ，ρ\rho 是电荷 oo 点在 ss 系里电荷体密度，这里用到了运动电场 E⃗\vec{E} 的高斯定理

∇→⋅E→=∂Ex∂x+∂Ey∂y+∂Ez∂z=ρε0\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E} = \dfrac{\partial E_x}{\partial x} + \dfrac{\partial E_y}{\partial y} + \dfrac{\partial E_z}{\partial z} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0} \end{equation}

所以，

− μ0 ε0 v (ρε0−∂Ex∂x)=− μ0 v ρ+μ0 ε0 v ∂Ex∂x-\ \mu_0\ \varepsilon_0\ v\ (\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} - \dfrac{\partial E_x}{\partial x}) = -\ \mu_0\ v\ \rho + \mu_0\ \varepsilon_0\ v\ \dfrac{\partial E_x}{\partial x}

以上是从空间点 pp 处考察得出的，由于电荷 oo 点的运动速度 vv 和 pp 点运动速度 −v- v 正好相反。

μ0 v ρ\mu_0\ v\ \rho 是电流，上式如果表示的是电流和变化磁场产生磁场，则负号就要去掉。再由速度定义得到的

v∂x=1∂t\begin{equation}\nonumber \dfrac{v}{\partial x} = \dfrac{1}{\partial t} \end{equation}

所以，上式的矢量式可以写为：

μ0 J⃗+μ0 ε0 ∂Ex∂ti⃗\begin{equation}\nonumber \mu_0\ \vec{J} + \mu_0\ \varepsilon_0\ \dfrac{\partial E_x}{\partial t} \vec{i} \end{equation}

i⃗\vec{i} 沿 xx 轴的单位矢量，J⃗\vec{J} 是电流。

点击展开修正：这里的 J⃗\vec{J} 应该是指电流密度。

由 Bx=0B_x = 0 ，Bz=− vc2 EyB_z = -\ \dfrac{v}{c^2}\ E_y ，v∂x=1∂t\dfrac{v}{\partial x} = \dfrac{1}{\partial t} ，所以：

∂Bx∂z−∂Bz∂x=−∂Bz∂x=vc2 ∂Ey∂x=1c2 ∂Ey∂t=μ0 ε0 ∂Ey∂t\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \dfrac{\partial B_x}{\partial z} - \dfrac{\partial B_z}{\partial x} &= - \dfrac{\partial B_z}{\partial x} \\ &= \dfrac{v}{c^2}\ \dfrac{\partial E_y}{\partial x} \\ &= \dfrac{1}{c^2}\ \dfrac{\partial E_y}{\partial t} \\ &= \mu_0\ \varepsilon_0\ \dfrac{\partial E_y}{\partial t} \end{aligned} \end{equation}

由 Bx=0B_x = 0 ，By=vc2 EzB_y = \dfrac{v}{c^2}\ E_z ，v∂x=1∂t\dfrac{v}{\partial x} = \dfrac{1}{\partial t} ，所以：

∂By∂x−∂Bx∂y=∂By∂x=vc2 ∂Ez∂x=1c2 ∂Ez∂t=μ0 ε0 ∂Ez∂t\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \dfrac{\partial B_y}{\partial x} - \dfrac{\partial B_x}{\partial y} &= \dfrac{\partial B_y}{\partial x} \\ &= \dfrac{v}{c^2}\ \dfrac{\partial E_z}{\partial x} \\ &= \dfrac{1}{c^2}\ \dfrac{\partial E_z}{\partial t} \\ &= \mu_0\ \varepsilon_0\ \dfrac{\partial E_z}{\partial t} \end{aligned} \end{equation}

由以上推理加斯托克斯定理，我们得到了麦克斯韦方程中的电流和运动电荷产生磁场：

∇→×B→=(∂Bz∂y−∂By∂z) i⃗+(∂Bx∂z−∂Bz∂x) j⃗+(∂By∂x−∂Bx∂y) k⃗=(μ0 J+μ0 ε0 ∂Ex∂t) i⃗+(μ0 ε0 ∂Ey∂t) j⃗+(μ0 ε0 ∂Ez∂t) k⃗=μ0 J⃗+μ0 ε0 ∂E⃗∂t\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{B} &= (\dfrac{\partial B_z}{\partial y} - \dfrac{\partial B_y}{\partial z})\ \vec{i} + (\dfrac{\partial B_x}{\partial z} - \dfrac{\partial B_z}{\partial x})\ \vec{j} + (\dfrac{\partial B_y}{\partial x} - \dfrac{\partial B_x}{\partial y})\ \vec{k} \\ &= (\mu_0\ J + \mu_0\ \varepsilon_0\ \dfrac{\partial E_x}{\partial t})\ \vec{i} + (\mu_0\ \varepsilon_0\ \dfrac{\partial E_y}{\partial t})\ \vec{j} + (\mu_0\ \varepsilon_0\ \dfrac{\partial E_z}{\partial t})\ \vec{k} \\ &= \mu_0\ \vec{J} + \mu_0\ \varepsilon_0\ \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned} \end{equation}
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