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Unified Field Theory

三十一、速度乘以质量随时间变化率就是电磁场力

相对论和牛顿力学给出的动量公式 p⃗=m v⃗\vec{p} = m\ \vec{v} 和统一场论给出的动量公式 p⃗=m (c⃗−v⃗)\vec{p} = m\ (\vec{c} - \vec{v}) 是不一样的。

统一场论的动力学方程：

F⃗=dp⃗dt=d[m (c⃗−v⃗)]dt=c⃗ dmdt−v⃗ dmdt+m dc⃗dt−m dv⃗dt\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} \vec{F} &= \dfrac{d\vec{p}}{dt} = \dfrac{d[m\ (\vec{c} - \vec{v})]}{dt} \\ &= \vec{c}\ \dfrac{dm}{dt} - \vec{v}\ \dfrac{dm}{dt} + m\ \dfrac{d\vec{c}}{dt} - m\ \dfrac{d\vec{v}}{dt} \end{aligned} \end{equation}

中， mm 是粒子的质量，c⃗\vec{c} 是矢量光速，v⃗\vec{v} 是粒子运动速度， tt 是时间。

上式中 (c⃗−v⃗) dmdt=c⃗ dmdt−v⃗ dmdt(\vec{c} - \vec{v})\ \dfrac{dm}{dt} = \vec{c}\ \dfrac{dm}{dt} - \vec{v}\ \dfrac{dm}{dt} 是速度乘以质量随时间变化的力，简称加质量力。

统一场论认为其本质就是电磁场力，其中 c⃗ dmdt\vec{c}\ \dfrac{dm}{dt} 是电场力，v⃗ dmdt\vec{v}\ \dfrac{dm}{dt} 是磁场力，

按照统一场论的看法，以上的 oo 点静止在 s′s' 里时候，具有静止质量 m′m' ，周围的空间以矢量光速度 c′⃗\vec{c'} 离开 oo 点运动，带有电荷 dm′dt′\dfrac{dm'}{dt'} F静→\overrightarrow{F_\text{静}} 可以表示为：

F静→=c′⃗ dm′dt′\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{F_\text{静}} = \vec{c'}\ \dfrac{dm'}{dt'} \end{equation}

在 ss 系里，当 oo 点【运动质量为 mm 】以速度 v⃗\vec{v} 沿 xx 轴运动的时候，周围空间以矢量光速 c⃗\vec{c} c⃗\vec{c} 和 c′⃗\vec{c'} 的方向不一样，模一样】离开 oo 点运动，沿 v⃗\vec{v} 平行方向【也就是沿 xx 轴方向】受到了电场力 Fx动→\overrightarrow{{F_x}_\text{动}} 可以表示为：

Fx动→=cx⃗ dmdt\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{{F_x}_{\text{动}}} = \vec{c_x}\ \dfrac{dm}{dt} \end{equation}

数量式为：

Fx动=c dmdt\begin{equation}\nonumber {F_x}_{\text{动}} = c\ \dfrac{dm}{dt} \end{equation}
点击展开注解：关于上面 cx⃗\vec{c_x} 含义的说明

相应的，

Fx静→=cx′⃗ dm′dt′\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{{F_x}_\text{静}} = \vec{c_x'}\ \dfrac{dm'}{dt'} \end{equation}

数量式为：

Fx静=c dm′dt′\begin{equation}\nonumber {F_x}_\text{静} = c\ \dfrac{dm'}{dt'} \end{equation}

由于光速 cc 和电荷都不随速度 v⃗\vec{v} 变化，也就是

dm′dt′=dmdt\begin{equation}\nonumber \dfrac{dm'}{dt'} = \dfrac{dm}{dt} \end{equation}

所以，

Fx静→=Fx动→\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{{F_x}_\text{静}} = \overrightarrow{{F_x}_\text{动}} \end{equation}

cc 是 c⃗\vec{c} 的标量， vv 是 v⃗\vec{v} 的标量， FF 是力 F⃗\vec{F} 的标量。cx′⃗\vec{c_x'} 表示矢量光速 c′⃗\vec{c'} 在 s′s' 系里的 xx 轴上， cx⃗\vec{c_x} 表示矢量光速 c⃗\vec{c} 在 ss 系里的 xx 轴上。

注意， tt 和 t′t' 是不一样的。c′⃗\vec{c'} 和 c⃗\vec{c} 方向不一样，但是，模都是标量光速 cc ，并且 cc 是不变的。

矢量光速 c′⃗\vec{c'} 和 c⃗\vec{c} 如果在沿 v⃗\vec{v} 垂直方向，受到了电场力：

在 s′s' 系里，

Fy静→=cy′⃗ dm′dt′\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{{F_y}_\text{静}} = \vec{c_y'}\ \dfrac{dm'}{dt'} \end{equation}

数量式为：

Fy静=c dm′dt′\begin{equation}\nonumber {F_y}_\text{静} = c\ \dfrac{dm'}{dt'} \end{equation}

在 ss 系里，

Fy动→=cy⃗ dmdt\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{{F_y}_\text{动}} = \vec{c_y}\ \dfrac{dm}{dt} \end{equation}

由相对论速度变换，其数量式为：

Fy动=c dmdt 1−v2c2\begin{equation}\nonumber {F_y}_\text{动} = c\ \dfrac{dm}{dt}\ \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} \end{equation}

所以，有：

1−v2c2 Fy静=Fy动\begin{equation}\nonumber \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}\ {F_y}_\text{静} = {F_y}_\text{动} \end{equation}

同样的理由可以得出：

1−v2c2 Fz静=Fz动\begin{equation}\nonumber \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}\ {F_z}_\text{静} = {F_z}_\text{动} \end{equation}

以上结论和相对论电磁力的变换是一致的。令 oo 点的电荷为 qq ，如果静电场表示为：

E′→=F静→q=c′→ dm′dt′ 1q\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{E'} = \dfrac{\overrightarrow{F_\text{静}}}{q} = \overrightarrow{c'}\ \dfrac{dm'}{dt'}\ \dfrac{1}{q} \end{equation}

动电场表示为：

E→=F动→q=c→ dmdt 1q\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{E} = \dfrac{\overrightarrow{F_\text{动}}}{q} = \overrightarrow{c}\ \dfrac{dm}{dt}\ \dfrac{1}{q} \end{equation}

当 oo 点以匀速度 v⃗\vec{v} 沿 xx 轴正方向直线运动的时候，在 xx 轴上，c⃗\vec{c} 和 c′⃗\vec{c'} 的数量是一样的，都是 cc ，由于 dm′dt′\dfrac{dm'}{dt'} 和 qq 是不变的，所以，

Ex→=Ex′→\overrightarrow{E_x} = \overrightarrow{E_x'}

在 yy 轴和 zz 轴上，c⃗\vec{c} 的数量是 c 1−v2c2c\ \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} ，c′⃗\vec{c'} 的数量是 cc ，

所以，

Fy=dmdt c 1−v2c2=dmdt c 1−v2c2 1−v2c21−v2c2=dmdt c 1−v2c21−v2c2\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} F_y &= \dfrac{dm}{dt}\ c\ \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} \\ &= \dfrac{dm}{dt}\ c\ \dfrac{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}\ \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \\ &= \dfrac{dm}{dt}\ c\ \dfrac{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \end{aligned} \end{equation}

如果认为

Ey′→=Fy静→q=cy′→ dm′dt′ 1q\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{E_y'} = \dfrac{\overrightarrow{{F_y}_\text{静}}}{q} = \overrightarrow{c_y'}\ \dfrac{dm'}{dt'}\ \dfrac{1}{q} \end{equation}

是静电场 E′→\overrightarrow{E'} 在 yy 轴上的分量，

Ey=dmdt c 1−v2c2 1q\begin{equation}\nonumber E_y = \dfrac{dm}{dt}\ c\ \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}\ \dfrac{1}{q} \end{equation}

是运动电场 E→\overrightarrow{E} 在 yy 轴上的分量的话，则：

Ey′→=Ey→ 1−v2c2\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{E_y'} = \overrightarrow{E_y}\ \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} \end{equation}

注意，

dm′dt′ c 1q=dmdt c 1q\begin{equation}\nonumber \dfrac{dm'}{dt'}\ c\ \dfrac{1}{q} = \dfrac{dm}{dt}\ c\ \dfrac{1}{q} \end{equation}

对 Ez→\overrightarrow{E_z} 的分析，会得到同样的结果，这个结果和相对论的电场变换是一样的。

我们还可以看到，运动电场力在速度 v⃗\vec{v} 的垂直方向可以写成；

F垂=dmdt c 1−v2c21−v2c2\begin{equation}\nonumber F_\text{垂} = \dfrac{dm}{dt}\ c\ \dfrac{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \end{equation}

变成了两部分，一部分与速度 v⃗\vec{v} 相关。

如果认为

dmdt c 11−v2c2\begin{equation}\nonumber \dfrac{dm}{dt}\ c\ \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \end{equation}

是电场力，与速度 v⃗\vec{v} 【数量为 vv 】相关的那部分力

dmdt c v2c21−v2c2\begin{equation}\nonumber \dfrac{dm}{dt}\ c\ \dfrac{\dfrac{v^2}{c^2}}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \end{equation}

是磁场【用 B⃗\vec{B} 表示】力，则 E⃗\vec{E} 和 B⃗\vec{B} 满足【用矢量表示】以下矢量叉乘关系：

B⃗=1c2 v⃗×E⃗\begin{equation}\nonumber \vec{B} = \dfrac{1}{c^2}\ \vec{v} \times \vec{E} \end{equation}

这个结果和相对论是一样的。

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