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Unified Field Theory

二十四、统一场论动量公式

统一场论的静止动量公式

Section titled 统一场论的静止动量公式

统一场论的基本假设为：

宇宙中任意一个物体 oo 点，相对于我们观察者静止的时候，周围空间总是以物体为中心、以矢量光速、以圆柱状螺旋式向外发散运动。

设想有一个质点 oo 相对于我们观测者静止，周围空间中任意一个空间点 pp ，在零时刻从 oo 点出发，以矢量光速度 c′⃗\vec{c'} 沿某一个方向运动，经历了时间 t′t' ，在 t′′t'' 时刻到达 pp 点后来所在的位置。

点击展开注解：关于上述变量的命名问题

设想质点 oo 周围空间总共有 nn 条空间点的矢量位移，我们用 r′⃗=c′⃗ t′\vec{r'} = \vec{c'}\ t' 表示其中一条的位移量。

我们在 oo 点周围取个适当的立体角 Ω\Omega ，里面恰巧包含一条空间矢量位移 r′⃗=c′⃗ t′\vec{r'} = \vec{c'}\ t'

L⃗=k r′⃗Ω\begin{equation}\nonumber \vec{L} = k\ \dfrac{\vec{r'}}{\Omega} \end{equation}

可以反映出 oo 点周围局部地区的空间的运动量。式中的 kk 是比例常数，Ω\Omega 是一个任意大小的立体角。

点击展开修正：Ω\Omega 不是任意大小的立体角，而是单位空间矢量位移对应的立体角。

将 L⃗=k r′⃗Ω\vec{L} = k\ \dfrac{\vec{r'}}{\Omega} 中 r′⃗\vec{r'} 对时间 t′t' 求偏导数，可以反映出 oo 点局部地区的运动空间随时间 t′t' 的运动程度。

∂L⃗∂t′=k ∂r′⃗∂t′ 1Ω=k c′Ω\begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial\vec{L}}{\partial t'} = k\ \dfrac{\partial\vec{r'}}{\partial t'}\ \dfrac{1}{\Omega} = \dfrac{k\ c'}{\Omega} \end{equation}

注意 r′⃗=c′⃗ t′\vec{r'} = \vec{c'}\ t' 。利用前面质量的定义方程 m=kΩm = \dfrac{k}{\Omega} ,

可以把上式改写为统一场论的静止动量公式：

p静→=m′ c′⃗\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{p_\text{静}} = m'\ \vec{c'} \end{equation}

这里的动量定义方程中把质量用 m′m' 表示，是为了区分将要出现的运动质量 mm ，c′⃗\vec{c'} 是为了区分将要出现的运动矢量光速 c⃗\vec{c}

oo 点的静止动量反映了 oo 点静止时候周围空间的运动程度。

我们要认识到，oo 点的静止动量是周围的空间点 pp 的运动位移量 r′⃗\vec{r'} 随立体角度 Ω\Omega 、时间 t′t' 的变化的变化程度，不随 oo 点和 pp 点之间距离的变化而变化。

所以，我们测量一个物体 oo 点静止动量的大小，不需要考虑 oo 点与周围空间中一个考察点 pp 之间距离，这一点和引力场不一样。当 oo 点运动的时候，运动动量这种情况也是类似的。

运动动量公式

Section titled 运动动量公式

设想 s′s' 系相对于 ss 系以匀速度 v⃗\vec{v} 【标量为 vv】沿 xx 轴正方向直线运动。

以上的 oo 点相对于 s′s' 系观察者静止，具有静止动量 m′ c′⃗m'\ \vec{c'}

前面我们分析过，当 oo 点相对于 ss 系里的观察者以速度 v⃗\vec{v} 运动的时候，静止动量的两部分——质量和矢量光速都要发生变化。

在 s′s' 系里，oo 点的静止质量为 m′m'，在 ss 系里变成了运动质量 mm

在 s′s' 系里，oo 点周围空间点 pp 相对于 s′s' 系里观察者的矢量光速为 c′⃗\vec{c'}；在 ss 系里，oo 点周围空间点 pp 相对于 ss 系里观察者的矢量光速为 c⃗\vec{c}

c⃗\vec{c} 和 c′⃗\vec{c'} 方向不一样，但模是一样的，都是 cc ，也就是：

c′⃗⋅c′⃗=c⃗⋅c⃗=c2\begin{equation}\nonumber \vec{c'} \cdot \vec{c'} = \vec{c} \cdot \vec{c} = c^2 \end{equation}

详细的证明在第二十二节《解释洛伦兹变换中的光速不变》中的第4小节《光源运动速度 v⃗\vec{v} 和矢量光速 c⃗\vec{c} 之间的关系》。

在 ss 系里，运动动量是不是就可以写成 m c⃗m\ \vec{c} ？

明显不行，因为 c⃗\vec{c} 是质点 oo 点周围空间点 pp 相对于 ss 系中观察者的速度，不是相对于质点 oo 点的运动速度。

动量反映的是质点 oo 点周围空间的运动情况，而不是反映观察者周围空间的运动情况。

在 s′s' 系里，观察者和质点 oo 点是相对静止的，pp 点相对于质点 oo 点的速度和相对于观察者的速度没有区别。

但是，在 ss 系里是有区别的，因为在 ss 系里质点 oo 点是在以速度 v⃗\vec{v} 相对观察者沿 xx 轴直线运动。

在 ss 系里，c⃗\vec{c} 是 pp 点相对于 ss 系里观察者的速度，c⃗\vec{c} 也是 pp 点相对于质点 oo 点的运动速度【我们用 u⃗\vec{u} 表示】和 v⃗\vec{v} 的叠加，也就是 c⃗=u⃗+v⃗\vec{c} = \vec{u} + \vec{v}

所以，在 ss 系里，pp 点相对于 oo 点的运动速度应该是：

u⃗=c⃗−v⃗\begin{equation}\nonumber \vec{u} = \vec{c} - \vec{v} \end{equation}

所以，运动动量可以写为：

p动→=m u⃗=m (c⃗−v⃗)\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{p_\text{动}} = m\ \vec{u} = m\ (\vec{c} - \vec{v}) \end{equation}

相对论力学、牛顿力学认为物体周围空间的光速运动不存在，也就是 c⃗=0⃗\vec{c} = \vec{0} ，所以，牛顿力学、相对论的动量方程是

p动→=m v⃗\begin{equation}\nonumber \overrightarrow{p_\text{动}} = m\ \vec{v} \end{equation}

也可以说，相对论、牛顿力学的动量 m v⃗m\ \vec{v} ，只是统一场论动量公式 p动→=m (c⃗−v⃗)\overrightarrow{p_\text{动}} = m\ (\vec{c} - \vec{v}) 中 m c⃗m\ \vec{c} 变化的时候的一个变化量。

统一场论动量公式只是把牛顿、相对论动量公式扩展了，包含了物体静止时候周围空间的矢量光速运动，没有完全否定相对论、牛顿力学动量公式。

物体运动时候的动量和静止时候的数量是相等的

Section titled 物体运动时候的动量和静止时候的数量是相等的

将运动动量公式 p动→=m (c⃗−v⃗)\overrightarrow{p_\text{动}} = m\ (\vec{c} - \vec{v}) 两边对自身点乘，结果为：

p2=m2 (c2−2 c⃗⋅v⃗+v2)p=m c2−2 c⃗⋅v⃗+v2\begin{align} p^2 &= m^2\ (c^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v} + v^2) \nonumber \\ p &= m\ \sqrt{c^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v} + v^2} \nonumber \end{align}

我们应该合理地认为，物体静止时候的静止动量 m′ c′⃗m'\ \vec{c'} 的数量 m′ cm'\ c ，和运动时候的运动动量 m (c⃗−v⃗)m\ (\vec{c} - \vec{v}) 的数量 m c2−2 c⃗⋅v⃗+v2m\ \sqrt{c^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v} + v^2} 应该是相等的，不同的只是方向。所以，应该有：

m′ c=m c2−2 c⃗⋅v⃗+v2\begin{equation}\nonumber m'\ c = m\ \sqrt{c^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v} + v^2} \end{equation}

由于光速不变、光速最大的限制，当物体运动速度 v⃗\vec{v} 很大的时候，接近于光速 c⃗\vec{c} ，v⃗\vec{v} 和 c⃗\vec{c} 之间的夹角 θ\theta 也会趋向于零，如果不趋向于零，就有超光速出现。严格的证明如下：

s′s' 系相对于 ss 系以匀速度 v⃗\vec{v} 沿 xx 轴【或者 x′x' 轴，x′x' 轴和 xx 轴相互重合】直线运动。

在 s′s' 系里，令物体 oo 点周围空间点 pp 的矢量光速为 c′⃗\vec{c'} ，cx′c_x' 为 c′⃗\vec{c'} 在 x′x' 轴上的分量，θ′\theta' 为 c′⃗\vec{c'} 和 x′x' 轴【或者 cx′⃗\vec{c'_x} ，因为 cx′⃗\vec{c'_x} 和 x′x' 轴平行】之间的夹角。所以有：

cos θ′=cx′c\begin{equation}\nonumber cos\ \theta' = \dfrac{c_x'}{c} \end{equation}

cx′c_x' 为 cx′⃗\vec{c_x'} 的标量，cc 是 c′⃗\vec{c'} 的标量。

在 ss 系里，有：

cos θ=cxc\begin{equation}\nonumber cos\ \theta = \dfrac{c_x}{c} \end{equation}

θ\theta 为 ss 系里 c⃗\vec{c} 和 cx⃗\vec{c_x} 之间的夹角。cxc_x 是 c⃗\vec{c} 在 xx 轴上的分量 cx⃗\vec{c_x} 的标量。

根据洛伦兹速度变换的逆变换公式：

cx=cx′+v1+cx′ vc2\begin{equation}\nonumber c_x = \dfrac{c_x' + v}{1 + \dfrac{c_x'\ v}{c^2}} \end{equation}
点击展开注解：上述公式的具体推导

加以上的 cos θ=cxccos\ \theta = \dfrac{c_x}{c} ， cos θ′=cx′ccos\ \theta' = \dfrac{c_x'}{c} ，可以导出：

cos θ=cos θ′+vc1+vc cos θ′\begin{equation}\nonumber cos\ \theta = \dfrac{cos\ \theta' + \dfrac{v}{c}}{1 + \dfrac{v}{c}\ cos\ \theta'} \end{equation}

从上式可以看出，当速度 v⃗\vec{v} 的数量 vv 接近于光速 cc 的时候，cos θcos\ \theta 接近于 11 ，也就是 θ\theta 接近于 00 。

当运动速度 v⃗\vec{v} 和光速 c⃗\vec{c} 很接近，我们忽略了 v⃗\vec{v} 的数量 vv 和 c⃗\vec{c} 的数量 cc 之间的差别，v⃗\vec{v} 和 c⃗\vec{c} 之间的夹角 θ\theta 也趋向于零，结果有：

v≈cv\approx c 的时候，c⃗⋅v⃗≈v2\vec{c} \cdot \vec{v} \approx v^2【我们如果选择 c⃗⋅v⃗≈c2\vec{c} \cdot \vec{v} \approx c^2 ,结果会出现虚数而没有意义】，结果有：

m′ c=m c2−v2\begin{equation}\nonumber m'\ c = m\ \sqrt{c^2 - v^2} \end{equation}

注意，上式中我们虽然忽略了 cc 和 vv 之间的差，但保留了 c2c^2 和 v2v^2 之间的差。

比如 99 和 88 之间的差是 11 ，而 929^2 和 828^2 之间的差是 1717，我们只能忽略小的值，保留大的值，这样才合理。

对上式两边除以标量光速 cc，得：

m=m′1−v2c2\begin{equation}\nonumber m = \dfrac{m'}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \end{equation}

这个式子大家是不是很眼熟？不错，它就是大名鼎鼎的相对论质速公式。

原来物体以速度 v⃗\vec{v} 运动的时候，质量 mm 的增大，是以减少本来的周围运动空间的光速 c⃗\vec{c} 为代价的，动量总的数量仍然是守恒的。

这个就是把动量守恒范围扩大到不同的参考系中，也就是相互运动的观察者，测量同一个物体的动量，总的数量是不变的。

这个哲学思想是-----观察者只能观察运动状态，而不能改变运动状态。

我们再用 (c⃗−v⃗)(\vec{c} - \vec{v}) 的分量形式来分析式

m′ c=m c2−2 c⃗⋅v⃗+v2\begin{equation}\nonumber m'\ c = m\ \sqrt{c^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v} + v^2} \end{equation}

(c⃗−v⃗)(\vec{c} - \vec{v}) 的三个分量是 (cx−vx),(cy−vy),(cz−vz)(c_x - v_x), (c_y - v_y), (c_z - v_z) ，，，令 (c⃗−v⃗)(\vec{c} - \vec{v}) 的数量为 uu ，则：

u=(cx−vx)2+(cy−vy)2+(cz−vz)2=cx2+cy2+cz2+vx2+vy2+vz2−2 c⃗⋅v⃗=c2+v2−2 c⃗⋅v⃗\begin{align} u &= \sqrt{(c_x - v_x)^2 + (c_y - v_y)^2 + (c_z - v_z)^2} \nonumber \\ &= \sqrt{c_x^2 + c_y^2 + c_z^2 + v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v}} \nonumber \\ &= \sqrt{c^2 + v^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v}} \nonumber \end{align}

情况是相同的。

对 m′=m 1−v2c2m' = m\ \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} 两边同时乘以标量光速的平方可以得到相对论的能量方程：

E=m′ c2=m c2 1−v2c2\begin{equation}\nonumber E = m'\ c^2 = m\ c^2\ \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} \end{equation}

后面还有详细的论证。

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